Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда
будет интегралом уравнений (2) и уравнений (2Ыз), которые выводим из (2), заменяя на Положим
и;.=вх,.,
где е — постоянная. Это позволительно, так как ?': = еХ( — решение (2Ыв).
Тогда
будет интегралом (2); это показывает, что
5 2^,, к{ХкЛ^ — ХАхк)
— интегральный инвариант первого порядка уравнений (1).
Итак, этот способ позволяет найти инвариант порядка п—1, когда известен инвариант порядка п\ иногда эта методика может быть иллю-
Новые методы небесной механики. III
лор ной, так как инвариант, полученный таким образом, может быть тождественным нулем.
Рассмотрим теперь инвариант следующего вида:
5 2 (А< + tв.)dxi,
где А; и ВА — функции от х\ в дальнейшем мы встретимся с инвариантами этого вида.
Тогда
будет интегралом уравнений (2); отсюда следует, что выражение
2(Л( + гя,.) х,
должно быть постоянным.
Пусть для краткости
ф =
выражение
Ф + гФ:
должно быть постоянным, что влечет за собой условие
/ дф1 . ф — о
СП д1 +^1 —и
или же
2е7*.+ф.+‘25г*<=0' <3)
где Л';, А{, В, — функции от х. Следовательно, то же относится и к
Ф ф,
’ 11 ? *х< А*' ? л<•
Следовательно, тождество (3) будет выполняться только, если имеем тождественно
2?*.+*-=°-
Первое из этих соотношений показывает нам, что Ф! — интеграл уравнений (1).
Интегральные инварианты
39
253ter. Пусть
Ф = const
есть интеграл уравнений (2); функция Ф должна быть некоторой формой, г. е. целым и однородным полиномом относительно ?4, коэффициенты которого как-то зависят, кроме того, от xi
Пусть т — степень этого полинома. Выражение
(где Ф' есть не что иное, как Ф, где ?4 заменены дифференциалами dx.), как я утверждаю, будет интегральным инвариантом уравнений (1).
При этих предположениях пусть I означает какой-нибудь инвариант формы Ф.
Совершим замену переменных п. 237; уравнения (1) этого пункта примут вид
# = 0, -§ = 1, (Ibis)
и, если обозначить через ц{ и ? вариации yf и z, то уравнения в вариациях системы (Ibis) приведутся к
drtj _ d?. n
di dt ~
В этих новых переменных Ф превратится в форму Ф0, целую, однородную и степени т относительно ц( и С; коэффициенты могут быть любыми функциями от у4, но, согласно теореме п. 237, поскольку мы имеем дело с интегральным инвариантом, эти коэффициенты не могут зависеть от z.
Величины xt являются функциями от у И Z, и мы выводим отсюда следующие соотношения между вариациями:
+ (4)
Следовательно, ? являются линейными функциями от т| и С, и определитель линейных уравнений (4) будет не чем иным, как якобианом х относительно у и z, якобианом, который я обозначаю через J.
Таким образом, мы переходим от формы Ф к форме Ф0 посредством линейной подстановки (4), определитель которой равен /.
Пусть /„ — инвариант Ф0, который соответствует инварианту I формы Ф; мы будем иметь
1 = 1,1",
где р — степень инварианта.
Но /„ — функция коэффициентов Ф0 и, следовательно, функция у, не зависящая от z; следовательно, это — интеграл уравнений (1).
Новые методы небесной механики. III
Пусть М — последний множитель уравнений (1), так что мы имеем
И
j Mdx^dx^ . . . dxn
— интегральный инвариант порядка п.
Мы видели в п. 252, что MJ будет интегралом уравнений (1). Следовательно,
/0 (Ml)? = 1МР
будет интегралом уравнений (1). Следовательно, каждому инварианту формы Ф соответствует интеграл этих уравнений.
Пусть теперь С — некоторый ковариант формы Ф степени р относительно коэффициентов формы Фи q — относительно переменных С Если С0 — соответствующий ковариант Ф0, то будем иметь
C=C(.JP.
Коэффициенты С0 являются функциями коэффициентов Ф„, следовательно, они не зависят от z; это же будет п для коэффициентов
C0{Mjy = CMp\
следовательно, СМР является интегралом уравнений (2); следовательно,
j
где С есть не что иное, как С, где 5,- заменены на dx0 — интегральный инвариант уравнений (1).
Итак, вот средство для построения большого числа интегральных инвариантов; заслуживает внимания частный случай, когда р равно нулю (т. е. случай инвариантов или ковариантов, называемых абсолютными); если С, например, есть абсолютный ковариант Ф, то
j №
будет интегральным инвариантом уравнений (1). Следовательно, можно образовать новый интегральный инвариант, не зная последнего множителя М.
Та же методика применяется к интегральным инвариантам высшего порядка. Пусть, например,
J 2 Л, тАхАхь
— интегральный инвариант второго порядка.
Интегральные инварианты
41
С этим интегральным инвариантом связана билинейная форма
ф=2л.ли;-и;).
которая является интегралом уравнений (2) и (2Ыз).
Всякий инвариант или ковариант этой формы, умноженный на подходящую степень М, будет интегралом уравнений (2), (2Ыб) и, следовательно, породит новый интегральный инвариант.
Таким же образом, если имеется система интегральных инвариантов, мы выведем из нее систему форм, подобных Ф, которые будут интегралами уравнений (2), (2Ыз). Всякому инварианту этой системы форм будет соответствовать интеграл уравнений (1); всякому коварианту этой системы форм будет соответствовать интегральный инвариант уравнений (1).
Пусть, например, Р и Рг — две квадратичные формы относительно Р' и — то, чем они становятся, если заменить в них ?,? на йхг
