Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Если рассматриваются точки, движущиеся по одному и тому же закону, множество которых образует в начальный момент фигуру Р0, то множество этих же точек образует в момент ? другую фигуру Р, которая будет линией, поверхностью или объемом в зависимости от того, будет ли сама фигура Р0 линией, поверхностью или объемом.
Определение интегральных инвариантов
12
Новые методы небесной механики. III
Рассмотрим теперь интеграл
^ (А&х 4- В(1у С(1г),
где А, В, С — известные функции от х, у, г\ может случиться, что если /4, есть линия, этот интеграл (2), распространенный на все элементы линии будет постоянной, не зависящей от времени, и равной, следовательно, значению того же интеграла, распространенного на все элементы линии Р„.
Предположим теперь, что ^ и /4, — поверхности, и рассмотрим двойной интеграл
где А', В', С' —функции от х, у, г. Может случиться, что этот интеграл имеет одно и то же значение как при распространении его на все элементы поверхности Р, так и на все элементы поверхности Р0.
Вообразим теперь, что Р и Р0 — объемы, и рассмотрим тройной интеграл
где М — функция от х, у, г\ может случиться, что он имеет одно и то же значение для Р и для Р0.
В этих различных случаях мы скажем, что интегралы (2), (3) и (4) являются интегральными инвариантами.
Иногда может случиться, что интеграл (2) будет иметь одно и то же значение для линий и только тогда, когда эти две кривые замкнуты; или же что двойной интеграл (3) будет иметь одно и то же значение для поверхностей Р1 и Р1,, только тогда, когда эти две поверхности замкнуты.
Тогда мы скажем, что (2) является интегральным инвариантом относительно замкнутых кривых и что (3) — интегральный инвариант относительно замкнутых поверхностей.
236. Использованное нами геометрическое представление не играет, очевидно, никакой существенной роли; мы можем оставить его в стороне, и ничто не помешает более распространить предыдущие определения на случаи, когда число переменных больше трех.
Рассмотрим тогда уравнения
где Хи Х2,. . ., Хп — заданные функции от х1, х2,. . ., хп\ если бы мы умели их интегрировать, мы нашли бы хх, х2, . . ., хп как функции от і и их начальных значений хх%,. . ., хЧтобы сохранить ту же терминологию, мы можем назвать точкой М систему значений х1г х2,. . ., хп, а точкой М0 — систему значений хх%,. . ., хРг
(3)
III Мсіхсіусіг,
№
Интегральные инварианты
13
Рассмотрим множество точек М0, образующих многообразие ^0, и множество соответствующих точек М, образующих другое многообразие Р *.
Мы предположим, что и ^ — непрерывные многообразия р измерений, где р ^ п.
Рассмотрим тогда интеграл порядка р
где А — функция от хъ х2,. хя, а <1ш — произведение р дифференциалов, взятых среди п дифференциалов
Может оказаться, что этот интеграл имеет одно и то же значение для двух многообразий Р и Р0. Тогда мы скажем, что это — интегральный инвариант.
Может случиться также, что этот интеграл принимает одно и то же значение для двух многообразий Р и Р0, но только при условии, что эти два многообразия замкнуты. Тогда это — интегральный инвариант относительно замкнутых многообразий.
Можно еще вообразить другие виды интегральных инвариантов. Допустим, например, что р -1 и что Р и Р0 сводятся к линиям; может случиться, что интеграл
имеет одно и то же значение для ^и^0и есть интегральный инвариант; но может также случиться, что интеграл
где В, С, так же как и А, — суть функции от хи х2,. . ., хп\ может случиться, говорю я, что этот интеграл принимает одно и то же значение для Р и Р0, и было бы легко вообразить себе другие аналогичные примеры.
Число р будет называться порядком интегрального инварианта.
* Слово «многообразие» теперь достаточно употребительно, чтобы я но считал необходимым напоминать его определение. Таким образом обозначают всякое непрерывное множество точек (или систему значений): так же, как и в пространстве трех измерений, любая поверхность является многообразием двух измерений, а любая линия — многообразием одного измерения.
(2)
йх}, дхг, ..., (1хп.
14
Новые методы небесной механики. III
Связь инвариантов с интегралами
237. Возьмем снова систему
Если бы мы умели ее интегрировать, мы смогли бы образовать все ее интегральные инварианты.
Действительно, если бы интегрирование было выполнено, можно было представить результат в форме
где Сц С2,. Сп — произвольные постоянные, у иг — заданные функ-
ции от х.
Заменим переменные, принимая за новые переменные у иг вместо х. Рассмотрим теперь какой-нибудь интегральный инвариант; этот ин-
вариант должен содержать под знаком | (который будет повторен р раз,
если инвариант имеет порядок р) некоторое выражение, функцию от х и их дифференциалов йх. После замены переменных это выражение станет функцией от у, г и их дифференциалов йу и йг.
Чтобы перейти от точки фигуры Е0 к соответствующей точке фигуры 1'\ следует, не меняя у, заменить г на г+?. Следовательно, при переходе от бесконечно малой дуги Е0 к соответствующей дуге Р дифференциалы (1у и йг не изменяются (в самом деле, величина <, прибавляемая к г, одна и та же для обоих концов дуги); наконец, если рассмотреть бесконечно малую фигуру Е0 любого числа измерений и соответствующую фигуру Е, то произведение дифференциалов йу и йг (количество которых равно числу измерений и Р) также не изменится, если перейдем от одной фигуры к другой.
