Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем теперь, вместо частных значений 3 и 4, какие угодно числа а и Ъ, а гипотенузу полученного прямо-
угольного треугольника обозначим через с. Тогда разбиение квадрата, представленное на рис. И, выражается следующей формулой:
(а+6)2=с2+4у.
В самом деле, площадь внутреннего квадрата со стороной с есть с2, а площадь каждого из четырех прямоугольных
аЪ
треугольников равна •
Последнее равенство можно переписать так:
(a+b)2=c2 + 2ab.
Пользуясь этим соотношением, можно вычислить гипотенузу с прямоугольного треугольника, зная численные значения а и b его катетов. Пусть, например, как выше, а=3, 6=4, тогда из последнего равенства имеем:
49=с2+2-3.4, откуда с2 =25, а с=5.
3. Свяжем воедино то, что мы узнали в двух последних пунктах. Ограничимся сначала арифметической стороной дела. В п. 1 мы получили формулу
(a+b)2 = a2-\-b2 + 2ab, (1)
а в п. 2 —
(a+b)2 = c2+2ab. (2)
Отсюда следует равенство
a2 + b2 + 2ab=c2+2ab;
опуская в обеих его частях слагаемое 2а6, получим
а2 + 62 = с2. (3)
В последнем равенстве а и b суть длины катетов, ас — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, т. е. это не что иное, как теорема Пифагора.
К этому «арифметическому» выводу равенства (3) присоединим еще следующее замечание. Формулу (1) знает каждый учащийся, так как это одно из первых равенств,
с которыми он встречается в алгебре. Равенство (1) является тождеством, т. е. имеет место при любых значениях а и Ъ. Равенство (2), напротив, не является тождеством, так как оно не будет справедливым при произвольных значениях а, Ь и с; оно представляет собою соотношение, позволяющее, скажем, вычислить с по известным значениям а и Ь, как это было сделано нами выше.
4. Многим математикам может не понравиться данный нами в п. 3 вывод теоремы Пифагора, поскольку часто избегают смешения геометрических и арифметических методов в одном и том же доказательстве, и теоремы явно геометрического характера стремятся доказывать чисто геометрическим путем*). В элементарной математике это стремление особенно явственно сказывается как раз в учении о площадях. Площадь рассматривается здесь чисто геометрически, в отрыве от конкретных численных данных. Доказывается, например, что:
Два параллелограмма с равными основаниями и равными высотами равновелики]
Два треугольника с равными основаниями и равными высотами равновелики.
Подобному «геометрическому» подходу к теории измерения площадей, при котором в основу кладется сравнение площадей двух фигур, противостоит «арифметический» подход, при котором измерение площади рассматривается, по сути дела, как вычислительная операция. Указанным выше двум предложениям здесь будут соответствовать родственные им «арифметические» теоремы:
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту;
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Теорему Пифагора также можно сформулировать двояко. «Геометрически» ее можно выразить так:
*) Нам кажется, однако, что подобную тенденцию к резкому разграничению отдельных математических дисциплин, препятствующую созданию правильной перспективы математики в целом, вряд ли стоит приветствовать.
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
«Арифметически» она гласит:
Если а и Ъ суть числа, выражающие длины катетов, измеренные в одних и тех же единицах длины, ас — число, выражающее длину гипотенузы, измеренной в тех же единицах, то числа а, Ь и с связаны соотношением
а2 + Ь2 = с2.
Наряду с «арифметизованным» доказательством теоремы Пифагора, составляющим содержание п. 3, нетрудно дать и «чисто геометрическое» доказательство ее, также
опирающееся на построения пп. 1 и 2. Если в обоих прямоугольниках рис. 10 провести по одной диагонали, то мы получим фигуру, изображенную на рис. 12. Вследствие равенства треугольников, фигурирующих на рис. 12 и 13, сумма площадей квадратов I и II должна быть равна площади квадрата III. Это и есть теорема Пифагора.
5. Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из двух квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: «смотри!», как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказатель-
ство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно нетрудно сделать, однако может (особенно при большом числе частей) потребовать довольно продолжительной работы.
Мы начнем со сравнительно нового доказательства Эпштейна; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже (рис. 14), заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.
