Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. Однако нужно было еще уметь изготовлять эти прямые углы и знать способ проверки их точности. Таким способом могло быть простое перевертывание (рис. 3 и 4).
CC CC
ж
В' А В В' А В
Рис. 3. Рис. 4.
[К сожалению, я не располагаю письменными документами, на которых основывал Кантор свое предположение, а дошедшие до нас рисунки, изображающие торжества, сопровождающие закладку храма, мало подтверждают его утверждение.]
Несколько больше нам известно о теореме Пифагора у вавилонян, В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками по крайней мере в некоторых случаях.
Нейгебауэр*) по различным мотивам тоже считает достоверным, что в Вавилонии знали теорему Пифагора и умели ею пользоваться. В свете этих позднейших исследований о догреческой математике приходится отказаться от многих прежних утверждений о приоритете греков.
Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне наших знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, В а н-д е р-В а р д е н *) сделал недавно следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких, как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».
4. Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до н. э.
«Индийское богослужение не может обойтись без геометрических правил, так как оно связано чрезвычайно точными предписаниями. Если в алтаре есть малейшее отклонение от предписанной формы, если одно его ребро не образует с другим точно прямого угла, если произошла ничтожная ошибка в ориентации алтаря относительно четырех сторон горизонта — божество не примет приносимой ему жертвы» (Кантор).
Наряду с чисто ритуальными предписаниями, содержащимися в так называемых Кальпасутрах, существуют и сочинения геометрически-теологического характера, так называемые Сулъвасутры. В этих сочинениях, относя-
*)0. Нейгебауэр — известный немецкий историк математики, специалист по вавилонской математике; ныне живет и работает в Америке. Книга Нейгебауэра «Лекции по истории античных математических наук» (т. I — Догреческая математика) переведена на русский язык (M.— Л., ОHTИ, 1937).
*) Б. Л. В а н-д е р-В ар д е н — известный голландский математик, последнее время много занимался историей математики. См. его книгу «Пробуждающаяся наука (математика Древнего Египта, Вавилона и Греции)», M., Физматгиз, 1959.
щихся к IV или V веку до н. э., мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36 и 39 (ср. § 7). Кантор описывает способ построения следующим образом. В направлении точно с востока на запад отмечают с помощью кольев расстояние в 36 падас (падас — мера длины), называемое «праци». На кольях закрепляют концы веревки длиною в 54 падас с узлом, заранее завязанным на расстоянии в 15 падас от одного из концов. Затем веревку натягивают при помощи кола, продетого сквозь узел, и получают на одном из концов «праци» прямой угол.
Для извлечения квадратного корня геометрическим способом даются следующие правила, основанные на теореме Пифагора:
1. Веревка, натянутая наискось по равностороннему прямоугольнику, производит квадрат, имеющий удвоенную площадь *).
2. Веревка, натянутая наискось по прямоугольнику, производит две площади, которые производятся веревками, натянутыми вдоль большей и меньшей стороны.
Второй случай можно проверить на треугольниках, стороны которых равны 3 и 4 единицам длины, или 12 и 5, или 15 и 8, или 7 и 24, или 12 и 35, или 15 и 36.
Первое правило выражает теорему Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников. В справедливости ее для этого случая можно непосредственно убедиться из рис. 5. Второе правило выводится из чер-
Q
Рис. 5.
Рис. 6.
*) То есть веревка, совпадающая с диагональю квадрата, является стороной квадрата, площадь которого в два раза больше площади исходного квадрата.
тежа, который приблизительно соответствует чертежу, с которым мы еще встретимся в дальнейшем (см. рис. 28 на стр. 31). Нетрудно понять, что здесь действительно мы имеем дело с извлечением квадратного корня геометрическим способом, так как если а и Ъ — стороны прямоугольника, то диагональ его (рис. 6) выражается формулой
5. В дальнейшем распространении математических знаний индусы играли небольшую роль, а китайцы — и того меньшую, и лишь в новейшее время мир ознакомился с обширными математическими познаниями этих народов. Путь от древности к средним векам шел от греков через арабов.
