Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 14. Рис. 15.
Упражнение 1. Докажите, что EF проходит через С. Упражнение 2. Какой вид примет рис. 14, если прямоугольный треугольник АБС будет равнобедренным?
Разложение на треугольники можно сделать более наглядным, чем на рис. 14. На рис. 15 вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена. На рис. 16 — 17 дано весьма наглядное разложение Б ё т х е р а.
Упражнение 3. Проведите полное доказательство теоремы Пифагора методом, указанным на рис. 14 (или на рис. 15, или на рис. 16—17), включающее доказательство равенства всех соответствующих друг другу частей.
Рис. 16. Переставьте большие и маленькие части квадратов, расположенные над стрелкой...
Рис. 17. ... и все остальное получится само собой!
6. В учебниках нередко встречается разложение, указанное на рис. 181). Через центр О квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.
<Рис. 18 обладает любопытным свойством: здесь соответствующие друг другу части фигуры не только равны, но и «параллельно расположены», т. е. получаются одна из другой при помощи параллельного перенесения. Возможность такого разложения является счастливой случайностью. В последнее время было, однако, доказано (швейцарскими геометрами Хадвигером и Глюро м), что каждые два равновеликих многоугольника можно разбить на части так, чтобы отвечающие друг другу (треугольные или многоугольные!) части в разбиении обеих фигур были равны, и их соответствующие стороны были параллельны (т. е. эти части получались одна из другой параллельным переносом или симметрией относительно точ-к и) *).
Упражнение 4. Какие еще из перечисленных ниже разложений, построенных на сторонах прямоугольного треугольника квадратов, удовлетворяют условию Хадвигера — Глюра?>
Упражнение 5. Докажите, что линии, которыми разделен квадрат, построенный на гипотенузе, параллельны катетам (рис. 18).
Упражнение 6. Вычислите длины сторон четырехугольников, на которые распался квадрат, построенный на большем катете.
Заметим, что линии, разбивающие квадрат, построенный на большем катете, совсем не обязательно проводить так, чтобы точкой их пересечения являлся центр квад-
1) Так называемое «колесо с лопастями». Это доказательство нашел Перигаль.
*) См. по этому поводу брошюру В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносоставленные фигуры» (Гостехиздат, M., 1956), интересно дополняющую содержание этого параграфа.
рата. Проведем через вершины квадрата прямые, параллельные и перпендикулярные гипотенузе, как показано пунктиром на рис. 18; при этом внутри образуется меньший квадрат, любую точку которого (включая точки, лежащие на его сторонах) можно принять за точку О. Далее доказательство идет точно так же, как и ранее. Конечно, построенные теперь четырехугольники не будут равны
между собой, как это было в том случае, когда точкой пересечения вспомогательных линий служил центр квадрата.
Упражнение 7. Сделайте точный чертеж, отвечающий какому-либо выбору точки О, и, разрезав его на части, убедитесь в правильности такого доказательства.
Упражнение 8. Исследуйте, какой вид примет разложение в случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
7. Рассмотрим еще один способ разложения, в котором, как и раньше, удается ограничиться всего 5 частями. Он встречается уже в арабском комментарии к Евклиду, составленном Аннаирици около 900 г. н. э. В немного измененном виде это доказательство снова появляется у Г ё-п е л я в 1824 г.
Способ разбиения квадратов, построенных на катетах, ясен из рис. 19, в котором учтено предложение Нильсена, касающееся этого доказательства. Что касается разбиения квадрата, построенного на гипотенузе, то нужно лишь иметь в виду, что часть 3 получается следующим образом: на стороне квадрата, построенного на гипотенузе, откладывается гипотенуза прямоугольного треугольника 5, фигурирующего в разбиении квадрата, построенного на большом катете. Можно вместо этого отложить катет треугольника 3 на продолжении стороны квадрата, построенного на большем катете.
Естественность такого разложения очевидна, если сравнить рис. 19 с рис. 7, на котором квадрат, построен-
ный на большем катете, повернут на 180° вокруг этого катета *).
Упражнение 9. Докажите равенство частей 1—5 квадратов, построенных на катетах, соответствующим частям квадрата, построенного на гипотенузе.
Упражнение 10. Выразите стороны фигур 1—5 (рис. 19) через катеты а и Ъ и гипотенузу с исходного треугольника.
Упражнение 11. Сделайте чертеж, отвечающий случаю прямоугольного равнобедренного треугольника.
8. Изображенное на рис.20 разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу видеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.
9. Помимо четырех указанных нами способов разложения существует еще много других (см., например, рис. 21 и 22). Мы ограничимся лишь перечисленными доказательствами. Остановимся теперь на вопросе о том, какое из всех возможных доказательств с помощью разложения является простейшим. Если при этом не руководствоваться исключительно личным вкусом, то необходимо дать математическое определение понятия «простоты» доказательства; более того, так как мы собираемся эту простоту оценивать, то необходимо будет условиться о «мере» простоты. При этом надо иметь в виду, что и выбор подобной «меры» опять-таки будет субъективен. «Мерой простоты» может служить, например, число использованных при доказательстве вспомогательных линий, или число частей разбиения, или оба эти числа одновременно. Можно условиться «мерой простоты» доказа-
