Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Теорема Пифагра" -> 11

Теорема Пифагра - Литцман В.

Литцман В. Теорема Пифагра — Государственное издательство, 1960. — 114 c.
Скачать (прямая ссылка): teorema-pifagora.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 33 >> Следующая


*) Включая сюда и учебник А. П. Киселева.

Доказательству. Он будет пробовать, как пробовал и Евклид, хотя в «Началах» и не видно следов этого. Вообще при доказательстве теоремы Пифагора, так же как и всех других предложений элементарной математики, нужно стараться не только дать требуемое доказательство, но и научиться доказывать.

Оставим теперь эту сторону вопроса. В чем же заключается преимущество евклидового доказательства? Прежде всего мы замечаем, что у Евклида теорема Пифагора не представляет собой математического факта, стоящего в центре всего изложения, как в этой маленькой книжке, а является лишь одним звеном в длинной цепи предложений, отдельным фактом в обширной системе математических теорем. И эта цепь такова, что каждое ее звено должно выводиться из предыдущих исключительно путем логических умозаключений. Каждое доказательство должно быть основано на ранее доказанных предложениях. Так как при этом методе где-нибудь должно быть начало, то за основу берут небольшое число недоказы-ваемых предложений — так называемых аксиом, и хотя с точки зрения современной науки в этой цепи и обнаруживаются некоторые слабые места, это ничуть не порочит самой идеи *).

Прежде всего, система Евклида — это логическая система; наглядность, являющаяся основным достоинством доказательств методом разложения, не стоит здесь на первом плане — ей явно отводится второстепенная роль.

В системе Евклида теорема Пифагора занимает довольно скромное место, как одно из предложений учения о площадях. Начав с простейших многоугольных фигур — треугольника и параллелограмма, — Евклид переходит затем к нашей теореме. Простейшим доказательством для него является то, в котором предыдущие теоремы приходится применять наименьшее число раз. Правда, при этом он имел в своем распоряжении гораздо больший

*) По поводу кратко очерченного здесь дедуктивного метода построения геометрии см., например, статью П. К. Pa-шевского «Геометрия и ее аксиоматика», сборник «Математическое просвещение», вып. 5, M., 1960 г.

запас предложений, чем тот, которым обладали мы, когда рассматривали в § 2 вопрос о простоте доказательства: там, кроме понятия равносоставленности, мы могли пользоваться лишь признаками равенства треугольников; Евклид же мог опираться еще и на ряд теорем из теории измерения площадей.

Установим, сколько раз в доказательстве теоремы Пифагора Евклиду приходится ссылаться на предыдущие предложения. Мы ограничимся при этом доказательством того, что квадрат, построенный на каком-нибудь катете, равновелик соответствующему прямоугольнику (эту часть теоремы Пифагора называют также теоремой Евклида).

Обратимся снова к рис. 39. Прежде всего заметим, что для доказательства равновеликости квадрата CFGA прямоугольнику APQE нужно провести всего три вспомогательные ли- рис 49. нии: CQ, BGn СЕ.Теоремы нам потребуются лишь следующие: один раз первый признак равенства треугольников и дважды — теорема о том, что если параллелограмм и треугольник имеют одинаковые основание и высоту, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника.

Теперь нам ясно, что если доказательство Евклида рассматривать в рамках всей построенной в «Началах» системы, то его нужно признать чрезвычайно простым.

2. Для евклидового доказательства характерны два обстоятельства: 1) квадрат, построенный на гипотенузе, разбивается на два прямоугольника, равновеликих квадратам, построенным на катетах; 2) при доказательстве равновеликости прямоугольника и квадрата пользуются вспомогательной фигурой — специально выбранным треугольником, рассматриваемым в двух положениях, одно из которых получается из другого поворотом на 90°.

Заметим, что треугольники можно заменить параллелограммами— чтобы понять это, достаточно взглянуть на прилагаемый рис. 40.

Упражнение 24. Докажите, что большие стороны заштрихованных на рис. 39 треугольников взаимно перпендикулярны. (Этот факт был известен уже арабским математикам.)

Упражнение 25. На рис. 39 заштрихуйте также вспомогательные треугольники, используемые для доказательства равновеликости квадрата BCHI и прямоугольника BDQP. Что можно сказать о точке пересечения прямых BG и Al?

Упражнение 26. Проведите строго в евклидовом духе доказательство, в котором в качестве вспомогательной фигуры берутся не треугольники, а параллелограммы. Изобразите также аналогичные параллелограммы для квадрата, построенного на большем катете.

3. В п. 13 § 2 мы перечислили шесть различных положений трех квадратов, построенных на сторонах исходного

треугольника. Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть кое-каких упрощений — правда, несущественных. Мы рассмотрим здесь один случай, а читателю предоставим поупражняться в доказательстве других.

Пусть квадрат, построенный на E п одном из катетов (на рис. 41 это

квадрат, построенный на боль-Рис. 41. шем катете), расположен с той же стороны катета,что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, так как здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника (на рис. 41 он заштрихован) — площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed