Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Другими словами — симметрично отражен от катета.
тельства считать число применений теоремы о равенстве треугольников, предполагая при этом, что доказательство проведено полностью, без всяких ссылок на очевидность. С этой последней точки зрения вопрос по предложению Бернштейна был изучен Брандесом. Найти простейшее доказательство в смысле этого последнего
Рис. 21. Рис. 22.
определения означает установить наименьшее число треугольников, на которые можно разложить квадрат, построенный на гипотенузе, так, чтобы каждому из них соответствовал равный ему треугольник в разбиении квадратов, построенных на катетах. В доказательстве Эпштейна, например, таких треугольников 8; в доказательстве, изложенном в п. 6, 5 четырехугольников, следовательно, 10 треугольников; в доказательстве Аннаирици мерой простоты нужно считать число 7.
Каково же наименьшее число треугольников, получающихся при таких разложениях? Возможны ли разложения, в которых оно меньше семи? Брандес доказал, что число 7 в самом деле есть наименьшее, поэтому доказательство Аннаирици следует считать простейшим из всех, выполненных методом разложения. Более сложными являются доказательства Эпштейна и Гутхейля; еще более сложно доказательство п. 6.
Упражнение 12. Выясните» не может ли быть уменьшено число 7 при рассмотрении отдельных частных типов прямоугольных треугольников.
Возможно, что если бы мы судили о простоте доказательства, руководствуясь исключительно интуицией, то мы разместили бы четыре упомянутые доказательства как раз в обратном порядке. «Математически» это оправдывается так: определяя выше «меру простоты» доказательства, мы совершенно игнорировали вопрос о симметричности полученных чертежей. Рассмотрим во всех четырех доказательствах только квадрат, построенный на гипотенузе; тогда в доказательстве Аннаирици фигура оказывается совсем не симметричной; в разложениях Эпштейна и Гутхейля фигура «частично симметрична»; наконец, «наибольшей симметричностью,» если можно так выразиться, обладает фигура в последнем доказательстве. Действительно, вообразим, что мы начертили на прозрачной бумаге квадрат, построенный на гипотенузе, разбили его на части, как на рис. 14—15, 18, 19 или 20, наложили на соответствующий рисунок и начали вращать прозрачный чертеж вокруг центра квадрата. Тогда для полного совмещения верхнего рисунка с нижним в разложении Аннаирици потребуется поворот на 360°; в разложениях Эпштейна и Гутхейля — на 180°; в разложении же, изображенном на рис. 18, — на 90°.
10. До сих пор мы изучали только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения («аддитивными доказательствами») или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов. На рис. 23 квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых заведомо не позднее, чем IX столетием н. э., индусы называли «стулом
невесты». Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе,— неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольни-
ки 1 и 2, мы получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 ж 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.
Упражнение 13. Исследуйте, как изменится рис. 23 при замене всех квадратов
подобными между собой ромбами. Рис. 23. Упражнение 14. На рис. 24 и 25
изображены два различных расположения квадратов, близких к тому, которое дается на рис. 23. (В частности, на рис. 24 мы снова имеем «стул невесты».) Проведите доказательство теоремы Пифагора методом разложения, пользуясь этими чертежами.
Рис. 24. Рис. 25.
Исследуя это доказательство с точки зрения простоты, мы получим в качестве «меры» простоты число 5, т. е. меньше, чем прежде. Это объясняется особым расположением квадратов, построенных на катетах. Если их начертить раздельно, то потребуется еще несколько вспомогательных линий, но в этом случае мы снова возвратимся к такой же фигуре, как в доказательстве Аннаирици. Иначе говоря, перед нами совсем не новое доказательство, а лишь некоторое видоизменение уже известного.
11. Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея всех таких доказательств заключается в следующем. От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом — квадрат, построенный на гипотенузе*). Ведь если в равенствах
