Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Во всех случаях плоскость полностью покрывается сначала сетью квадратов, затем — сетью «стульев невесты»; отсюда следует, что
-7М
Рис. 36.
74
площадь квадрата должна быть равна площади «стула невесты». Разумеется, для того чтобы это рассуждение было вполне строгим, необходимо устранить еще одно возражение. Дело в том, что пока рассматривается только конечная часть плоскости, ее граница не может служить одновременно границей как области, покрытой некоторым числом равных квадратов, так и области, покрытой тем же числом«стульев невесты».
Если же считать плоскость неограниченной, то возникают трудности, связанные с применением понятия «бесконечного». Мы не будем вдаваться в подробности, связанные с этим вопросом, тем более, что некоторые читатели,
Рис. 37.
возможно, сразу и не почувствуют нужды в этом. Заметим лишь, что чем большая область покрывается квадратами и «стульями невесты», тем меньшую роль будет играть ошибка при сравнении покрытых площадей, происходящая от того, что по существу здесь сравниваются площади разных областей, имеющих близкие, но не совпадающие границы.
Рассмотрим теперь рис. 35—37 подробнее. На первом из них изображено разложение квадрата, построенного на гипотенузе. Оно известно из доказательства с помощью «колеса с лопастями» (рис. 18). Рис. 37 показывает, как будет выглядеть это разложение, если линии, разделяющие на части больший из построенных на катетах квадратов, будут пересекаться не в центре квадрата; наконец,
рис. 36 тесно связан с доказательством Аннаирици (ср. рис. 23). Ш о р е р, занимаясь «узорами обоев», т. е. задачей покрытия плоскости равными многоугольниками, установил связь этой задачи с иными доказательствами теоремы Пифагора методом разложения.
Упражнение 23. На рис. 38 изображены четыре «стула невесты», образующие одну симметричную фигуру. Воспользуйтесь этой фигурой как элементом для покрытия плоскости и выведите отсюда теорему Пифагора.
Рис. 38.
§ 3. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА В СИСТЕМЕ ЕВКЛИДА
1. То доказательство теоремы Пифагора, без которого не обходится ни один учебник элементарной геометрии, было приведено Евклидом в его «Началах»; по свидетельству П р о к л а (Византия), оно придумано самим Евклидом. <Вот в чем оно заключается.
Пусть ABDE — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, a ACFG и BCHI — квадраты, построенные на его катетах (рис. 39). Опустим из вершины С прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE
квадрата ABDE в точке Q; соединим точки С и Е, В и G. Очевидно, ZCAE=ZGAB (=Z -4+90°); отсюда следует, что треугольники АСЕ и AGB (заштрихованные на рис. 39) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключенному между ними). Сравним далее треугольник
АСЕ и прямоугольник PQEA', они имеют общее основание AE и равные высоты, опущенные на это основание (ибо CQ\\AE), следовательно
SpQEA = 2SA CE-
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и равные высоты, опущенные на это основание (так как BF\\AG); значит,
_ $ FC AG —2$ GAB-
EQ В
Рис. 39. Отсюда и из равенства тре-
угольников A CE иGBA вытекает равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата СНІВ. А отсюда, наконец, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т. е. теорема Пифагора.)
Против этого «доказательства-мышеловки», как его называл Шопенгауэр, высказывались энергичные возражения и еще теперь многие цитируют сказанные Шопенгауэром слова:
«Ходульное, надуманное доказательство Евклида заставляет спросить, „а почему так?", тогда как один взгляд на хорошо известный простой чертеж1) гораздо лучше, чем всякое доказательство, позволяет вникнуть в суть дела, убедиться в необходимости доказываемого свойства и в связи его с наличием у треугольника прямого угла.
*) Чертеж, о котором говорит здесь Шопенгауэр, изображен на нашем рис. 5. Он, безусловно, был известен также Евклиду.
И для случая неравных катетов, как и вообще для всякой геометрической истины, должно существовать подобное наглядное доказательство — хотя бы потому, что открытие истины всегда имело в своей основе созерцаемую необходимость, а доказательство придумывалось только потом».
После того как мы ознакомились с целым рядом доказательств, восполняющих указанный Шопенгауэром пробел, мы не можем не упрекнуть его в поверхностном отношении к вопросу; при желании он мог бы узнать эти доказательства, а не ограничиться лишь утверждением, что они «должны существовать».
Однако и теперь нередко можно слышать от математиков, что простейшим доказательством теоремы Пифагора является не какое-либо из доказательств методом разложения, а именно евклидово. Как объяснить это разногласие?
Обращаясь к изложению Евклида, которое почти без изменения перенесено во многие учебники *), обратим внимание прежде всего на его форму. Во всех своих доказательствах и построениях Евклид ограничивается стадией «синтеза», т. е. он совершенно не указывает, какие соображения привели его к тому или иному выводу, и почему он так, а не иначе проводит вспомогательные линии, или использует эту, а не другую из ранее доказанных теорем; только в конце читатель замечает, что все это делалось с заранее обдуманными намерениями и что желаемая цель достигнута. Тому, кто шаг за шагом слепо следует за Евклидом, не размышляя при этом сам, это доказательство, конечно, должно представляться похожим на мышеловку. Тому же, кто, напротив, встречался с подобными вещами, например, при обучении в школе, дело покажется совсем иным. Прежде всего, изучающий не нуждается в ссылках «на предложение х» или «на построение г/», которыми его так заботливо окружает Евклид, так как держит в голове весь запас предложений, которыми пользуется автор. Важнее, однако, что изучающий, пользуясь имеющимся уже у него запасом знаний, может сам подойти к теореме и пытаться без учебника (но, может быть, с помощью учителя) найти путь к ее
