Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ч Na 653
322
Гл. V. Теория малых сокращений
Определение. Пусть R — симметризованное подмножество эЛе^ ментов группы F. Назовем диаграмму M R-диаграммой, если дЛя любого граничного цикла б любой области D из M имеем cp(6) ^ ^
Пусть R — симметризованное подмножество свободной группы F и N — нормальное замыкание в F множества R. В качестве след. ствия теоремы 1.1 и леммы 1.2 мы получаем такой факт. Если w произвольный элемент из F, то w?N тогда и только тогда, когда существует связная односвязная Я-диаграмма М, такая, что метка на границе карты M равна до. Таким образом, связные односвязные диаграммы — удовлетворительный инструмент при изучении при-надлежности нормальным подгруппам.
2. Предположения о малом сокращении
Перейдем теперь к формулировке предположений о малом сокращении. Для закрепления обозначений и терминологии рассмотрим свободную группу F с базисом X. Буквой назовем элемент множества Y порождающих и обратных к ним. Слово w — это конечная строка букв до=#і ... ут. Мы не будем проводить различия между до и представляемым им элементом группы F. Единицу группы F обозначим через 1. Каждый элемент из F1 отличный от 1, единственным образом представим в виде приведенного слова w=yi ... ут, в котором никакие две последовательные буквы УіУі+г не образуют пары вида X1XJ1 или XT1Xt. Целое число п называется длиной элемента до и обозначается через |до|. Приведенное слово называется циклически приведенным, если уп не является обратным к уі. Если в произведении z=yt ... уп не происходит сокращений, будем писать Z=^A ... уп.
Подмножество R из F называется симметризованным, если все элементы из R циклически приведены и для каждого г из R все циклические перестановки элементов г и г-1 также лежат в R.
Предположим, что T1 и г2 — различные элементы из R, такие, что T1=OCi и r2=bc2. В этом случае элемент Ь называется куском относительно множества R. (Поскольку в каждый момент времени мы будем работать только с одним симметризованным множеством, слова «относительно R» будут опускаться, и мы будем просто говорить, что b — кусок.) Поскольку b сокращается в произведений rfV2 и R симметризовано, кусок — это просто подслово некоторого элемента из R, которое сокращается в произведении двух не взаимно обратных элементов из R.
Предположения о малом сокращении состоят в том, что куски — относительно малые части элементов из R. Обычное условие имеет метрический вид С (к), где к — положительное действительное число.
Условие С (к). Если r?R, r^abc, где b — кусок, то |?>1<^И-
2. Предположения о малом сокращении
323
Тесно связанным с приведенным является неметрическое условие С(р), где р — некоторое натуральное число.
Условие С(р). Никакой элемент из R не является произведением менее чем р кусков.
Заметим, что из С (К) следует С(р) для Х<Т/(р—1). В качестве примера рассмотрим фундаментальную группу замкнутого ориентируемого 2-многообразия рода g, имеющую представление
G = <aIt bx, ... ag,bg; aftyffy&j ... agXb^agbg)>.
В этом случае R состоит из циклических перестановок элементов г и г-1, где г —это ax1bx~1axbx ... a^b^ugbg. Понятно, что нетривиальные куски —это просто буквы и R удовлетворяет условиям С (l/(4g— I)) и С (4g). Группы, имеющие представление G=<X; Ry, для которого R удовлетворяет условию С"(1/6), иногда называются 1/6-группами. Аналогично определяются 1/8-группы и т. д.
Иногда бывает нужным условие T (q), где о — натуральное число. Кратко поясним интуитивный смысл этой гипотезы.
Условие T(о). Пусть 3</i<0. Предположим, что rit .... rh — элементы из R, такие, что последовательные элементы rt, ri+i не являются взаимно обратными. Тогда по крайней мере одно из произведений гхгг, rh^xrh, rhrx приведено.
Только что введенные условия могут быть распространены на случай свободного произведения или свободного произведения с объединенной подгруппой, если использовать подходящим образом определенные нормальные формы и связанные с ними функции длины. Точные определения условий сокращения в более общих ситуациях будут даны позже.
Мы будем последовательно употреблять введенные выше обозначения. Буква F будет обозначать свободную группу на порождающем множестве X, a R будет обозначать симметризованное подмножество в F, нормальным замыканием которого в F является подгруппа N. G будет обозначать факторгруппу FIN.
Перейдем к изучению геометрических следствий предположений о малом сокращении.
Пусть R — симметризованное подмножество свободной группы F. Последовательность сх, ..., Cn элементов, сопряженных с элементами множества R, называется минимальной R-последовательностью, если произведение Qy=Ci ... Cn не может быть записано Как произведение менее чем п сопряженных с элементами из R.
Пусть M — произвольная диаграмма над F. Допустим, что Dt и D2 — (не обязательно различные) области из M с ребром CSdD1 f] noDa. Пусть CO1 и 62е-1—граничные циклы областей Dx и D2 соответственно. Положим ф(8і)=/1 и ф(62)=/а. Диаграмма M называется приведенной, если всегда І%Ф!їУ.
11«
324 Гл. V. Теория малых сокращений
Лемма 2.1. Диаграмма M минимальной R-последовательносщц приведена.
