Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
8. Алгебраически замкнутые группы
309
Таким образом, централизатор подгруппы Н, порожденной множеством {oi, ..., ап}, нетривиален. Значит, НфА. ?
Из определения алгебраически замкнутой группы непосредственно вытекает, что каждая конечная группа вкладывается в каждую алгебраически замкнутую группу. В самом деле, если G — конечная группа с различными элементами g0=\, gi.....gn и таблицей умножения gigj=gh, то конечная система
Хіф\, t=l, п,
X1Xj =xk, 1 < і, /<п
имеет решение в AxG и, следовательно, в А.
Далее, заметим, что каждая конечно представленная группа
G = (Xi, хп\ г, = 1, .... гт=1>
аппроксимсщионно вложима в каждую алгебраически замкнутую группу. Под этим мы понимаем, что если Іф-wQG, то существует гомоморфизм ср: G-+A, такой, что (р(и>)Ф\. Для доказательства этого нужно просто заметить, что система
г і {Xj) = 1, і = 1, ..., т,
W (Xj) ф 1
имеет решение в AxG и, значит, некоторое решение
T1(Uj) = X, і= 1, .... т
и>(а/)ф1
в А. Отображение qv. G-^A, такое, что Xj у-> aj, является гомоморфизмом, поскольку каждое определяющее соотношение переходит в единицу. Понятно, что ср(и>)ф\.
Перед доказательством следующей теоремы нам нужно ввести еще одно определение. Будем говорить, что группа G бесконечно рекурсивно представлена, если она обладает представлением вида
G=(xh t € N; Ti, r2, . ..>,
где множество всех T1 рекурсивно перечислимо.
Читатель заметил, что нами не приведено еще ни одного явного примера алгебраически замкнутой группы, а доказательство существования в высшей степени неконструктивно. Сейчас мы увидим, что ввиду теоремы Миллера III, которую мы собираемся доказать, такая неконструктивность неизбежна.
Теорема 8.3. Никакая алгебраически замкнутая группа не может быть бесконечно рекурсивно представлена.
? Предположим, что некоторая алгебраически замкнутая группа А имеет бесконечное рекурсивное представление
A = (xit іQN; rx, rg, ...>.
310 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Поскольку Л проста, данное ее представление имеет разрешим проблему равенства слов по теореме Кузнецова (теорема 3. Пусть
G = (Z1.....zn\ S1.....sm>
— конечно представленная группа с неразрешимой проблемой венства слов. Методом, вполне аналогичным тому, который испо зуется для доказательства того, что в финитно аппроксимируен конечно представленных группах проблема равенства слов раз" шима, покажем, что решение проблемы равенства слов для данно представления группы А может быть использовано для решен проблемы равенства слов в G. Поскольку в G проблема равенст слов неразрешима, полученное противоречие заставит нас сдела вывод, что для А не существует бесконечно рекурсивного пр ставлення.
Поскольку G конечно представлена, множество слов, равных в G, рекурсивно перечислимо. Для решения проблемы равенст" слов в G достаточно поэтому показать, что и множество слов, равных 1, рекурсивно перечислимо. Перенумеруем все п-ки (W1, . .. .,Wn) слов от порождающих символов X1 группы Л. Функция zt>-определяет гомоморфизм из G в Л тогда и только тогда, когда ка дое определяющее соотношение Sj группы G переходит в 1, т. Sj(Wt) = I в А. Используя решение проблемы равенства слов в мы можем эффективно проверить это условие. Это позволяет фективно перенумеровать все гомоморфизмы фі, ф2, ... из G в Пусть V1, v2, ...— перечисление всех слов из G. Диагональн" процессом мы можем эффективно перенумеровать все образы ф,- (и
Используя решение проблемы равенства в Л, мы можем про"
рИТЬ, ВерНО ф;(У;)=7=1 В Л ИЛИ НЄТ. ЕСЛИ Да, ТО Vj^l в G, и мы
жем поместить Vj в список слов, не равных 1 в G. Однако мы отм чали, что G апцроксимационно вложима в Л. Это означает, ч каждое слово Vj^l в G попало в составленный нами список. Ита нами показано, что проблема равенства слов в G разрешима, есл проблема равенства слов в Л разрешима для любого представл ния. Как отмечено выше, отсюда следует, что Л не может име бесконечного рекурсивного представления. ?
Теория алгебраически замкнутых групп находилась в спячк до того момента, когда Б. Нейман [1973] доказал следующую заме нательную теорему.
Теорема 8.4. Каждая конечно порожденная группа с разрешил проблемой равенства слов может быть вложена в каждую алгебра чески замкнутую группу.
? По теореме Буна и Хигмана (теорема 7.4) G вложима в прост) подгруппу 5 некоторой конечно представленной группы
Н=<ги
8. Алгебраически замкнутые группы
311
Выберем элемент \=?w?S. Система уравнений и соотношений r,(z;)= 1, t = l, .... т, хю(г/іФ\
имеет решение в Л X Я и, следовательно, в А, так как А алгебраически замкнута. Пусть аи ..., ап — элементы из А, удовлетворяющие выписанным уравнениям. Отображение Zn-^a1 определяет гомоморфизм ф: Я->Л, поскольку каждое определяющее соотношение rt группы Я переходит в 1. Поскольку 5 проста, то из ф (с) = 1 для произвольного I=^=UgS следует ф(до) = 1. Однако ц>(а>)ФІ. Значит, ограничение отображения ф на S является вложением. В частности, ф вкладывает G в Л. (Нейман доказал свою теорему до теоремы Буна и Хигмана, которая привлечена нами для выявления связи между вложениями в алгебраически замкнутые группы и существованием достаточно большого числа простых подгрупп в конечно представленных группах.) ?
