Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
С этого места мы будем следовать доказательству Валиева [1968 Приводимый-здесь вариант включает в себя несколько дальн ших упрощений, найденных Валиевым после опубликования пер: начального доказательства и любезно предоставленных нам ( опубликовано). Главный шаг — это
Лемма 7.8. (Основная лемма.) Пусть S — рекурсивно перечиА лимое множество целых чисел. Тогда подгруппа
GpjaSVo'. z?S} удобна в свободной группе <а0, Ь0, с0У.
? Шаг 1. Будем существенным образом опираться на диофантов характер множества S. Существует многочлен Р(Хи, Xt) с целыми коэффициентами, такой, что
(1) Z0 65 тогда и только тогда, когда 3Z1, ... zt[P(z0, ...,zt) = 0].
Даже такая характеризация слишком сложна для прямого использования. Эту характеризацию можно переформулировать
_7. Теорема Хигмана о вложении 301
так:
(2) Z0 ? S тогда и только тогда, когда 3Z1... zmaS (z0,..., zj, где (z0, zm) — конъюнкция элементарных формул вида X1 = C (с —целое число),
X1 = Xj,
Xt + Xj = X1^ \i, j, k — различные), X1 = X1-Xj (0</<i</<m).
(Ограничение на индексы в формуле последнего типа есть техническая деталь, которая будет использована впоследствии.)
Для читателя, незнакомого с такого рода приемами, приведем пример. Пусть Р — многочлен 6X1-Xl+ X01 и допустим, что
Z0^S тогда и только тогда, когда P(Z0, X1, X2) имеет корень.
Вводя вспомогательные переменные, запишем
X4 = 6, X6 = X11 X4-X5 = X3, X7 = X2, X8 = X2, X7-X8 = X6, X11 = —1, X12 = X6, X11-X12 = X10, X13 = X3 + X10, X14 = X13+X0, X14 = O.
Взяв в качестве е^(Х0, X14) конъюнкцию этих формул,
получим, что
Z0^S тогда и только тогда, когда 3Z1.. .z14<^(z0, z14).
Шаг 2. Используя представление (2), постараемся свести проблему доказательства леммы к доказательству удобности некоторых частного вида подгрупп свободной группы
F = <a0, b0, с0.....аа, Ьт, ст>.
С каждой строкой (z0, ..., Z1n) свяжем некоторое кодовое слово хЮ(гЛ, ...гт) в свободной группе F. Именно, положим
......J =0*С <т-• -c^b^a^a^cl'a^.. .агт*Ьтс*».
Пусть
A = Gp{w{Zo.....Za);(z0, zJ<=Z<»+1}.
Заметим, что множество слов .....гт) является базисом группы А, так как оно нильсеновски приведено.
Будем использовать букву Г как переменную, обозначающую либо формулу оМ, либо одну из элементарных формул, входящих в <Л. Если Г(X0, X1n) — некоторая формула, то положим
АГ = Gp {w(Z0.....гт); Г (Z0, . . . , г„) истинна}.
302 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-рааиирения
Для формул
Xt = c, Xi = Xj, Х{-\-Xj = X1, Х('Xj = Xt будем использовать обозначения
А\, Aft j, Ajt jf і, A'Cr J1
соответственно. Тогда
AT, j = Gp \w(z,.....Zmy, Zi = Zj]
и т. д.
Покажем теперь, что если подгруппы А\, Aj /, A\tlt t и Al /, удобные подгруппы группы F, то и подгруппа
Gp [а20°Ьйсг0°; Z0 6 S}
удобна в F, а следовательно, в <o0, b0, с0>.
В самом деле, пусть Г,, Гр — элементарные форму/
конъюкцией которых является формула аЖ. Заметим, что
р
Ал = п \-
q=l
Включение s очевидно, а обратное включение вытекает из тог
что множество всех кодов W{z0.....г) свободно. Отметим так*
что
GpJa0-Vo0; Z0ZS) = Gp[A04, ах, blt C1, .... ат, Ьт, ст)С\
nGp {а0, b0, C0J
Доказываемое заключение вытекает, следовательно, из леммы 7.
Шаг 3. Для "доказательства того что At (где Г — элементарно формула) удобна, построим конечно представленную группу содержащую F, такую, что для каждой формулы Г существ} конечно порожденная подгруппа Lv группы М, удовлетворяюще условию
LTnF = Ar.
В этом случае наше доказательство будет завершено применением леммы 7.7 еще один раз.
Группа M будет построена в два этапа, каждый из которых есть HNN-расширение с несколькими проходными буквами.
(I) Группа F* получается из F добавлением порождающих t0, tm и определяющих соотношений
tT%tt = afifiit
tf коммутирует с остальными порождающими группы F каждого і, 0 < і < т.
7. Теорема Хигмана о вложении 303
Понятно, что F* есть HNN-расширение группы F, так как сопряжение каждым I, переводит свободное порождающее множество для F в некоторое свободное порождающее множество.
(II) Группа M получается из F* добавлением порождающих Pl ,, где индексы пробегают множество упорядоченных пар (/, /), где 0 < I < j < т. Добавим также для каждой пары (/, /) определяющие соотношения
PT,1 Iе/Pi, i = U0J'
Pi11 коммутирует с каждым из остальных порождающих группы F и с I1.
Подгруппа группы F*, ассоциированная с ргД есть Gp {F, I1}. Пусть E1-свободная группа F*<tt>. Понятно, что отображение ф/, /, такое, что Cj переходит в ttCj, а все остальные порождающие переходят в себя, является автоморфизмом группы E1. Пусть фг1, —отображение, обратное к ц>і. Для проверки того, что отображение ц>1. , определяет автоморфизм группы Gp \F, I1) в F*, достаточно убедиться в том, что и ф/, и vT1! переводят все определяющие соотношения группы Gp {F, I1) в 1. Для определяющего СООТНОШеНИЯ (T1CJt1 = Cj имеем
Ф/, I Vr1CjIi) = IjH1CJt1 = СJt1 = ttCj = фу, j (Cj),
і vi1, (tJ1C1I1) = t J1U1CJt1 = Ij1Cj = VJ1I {Cj).
Это и доказывает утверждение.
Шаг 4. Утверждается, что для каждой элементарной формулы Г существует конечно порожденная подгруппа Lr группы Лі, такая, что LrH F = At- Именно:
