Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Изложим основную идею нашего геометрического подхода. Допустим, что группа G имеет представление G= (X; R). Пусть F — свободная группа с базисом XnN — нормальное замыкание множества RbF. Тогда, конечно, G=FlN. Элемент w из F представляет единицу в факторгруппе G тогда и только тогда, когда w ^
1. Диаграммы
317
Далее, w^N тогда и только тогда, когда в свободной группе F он является произведением элементов, сопряженных с элементами множества R±r, скажем W=C1 ... сп, где Ci=UiT1Uj1, rt или rj1 лежат в R. С каждым таким произведением мы свяжем некоторую диаграмму на евклидовой плоскости, содержащую всю существенную информацию о произведении C1 ... сп. Мы увидим далее, что диаграммы являются удовлетворительным инструментом при изучении принадлежности элементов нормальной подгруппе группы F, а значит, и при изучении равенства в факторгруппе G. Диаграммы были введены ван Кампеном [1933], не нашедшим им, впрочем, большого приложения. Насколько нам известно, идея ван Кампена оставалась в забвении в течение тридцати лет. Линдон [1966] независимо пришел к идее диаграмм сокращения и использовал их для того, чтобы начать изучение теории малых сокращений с геометрической точки зрения. В то же время Вайнбаум [1966] обнаружил статью ван Кампена и также использовал диаграммы для доказательства некоторых результатов в теории малых сокращений.
Пусть E2 — евклидова плоскость. Если SsE2, то через oS обозначена граница множества S, через S — его топологическое замыкание, а через —S — множество E2—S. Вершина — это некоторая точка из E2. Ребро — ограниченное подмножество из E2, гомеоморфное открытому единичному интервалу. Область — ограниченное множество, гомеоморфное открытому единичному кругу. Карта M — конечный набор попарно непересекающихся вершин, ребер и областей, удовлетворяющих следующим условиям:
(i) если е — ребро из М, то имеются вершины а и Ь (не обязательно различные), такие, что е=е[) {a} U {Ь}.
(ii) Граница дЬ каждой области D из M связна, причем для некоторых ребер ей ..., еп из M имеем OD=C1 и ... (Jen-
Буква M будет использоваться также для обозначения теоретико-множественного объединения своих вершин, ребер и областей. Граница для M будет обозначаться символом дМ. Если е=е\] {a} (J (J {b), то говорят, что а и b — концы ребра е. Замкнутое ребро — это ребро е вместе с его концами.
Мы будем рассматривать карты вместе с ориентацией. Ребро можно направить в любую сторону. Если е — ориентированное
ребро, Идущее ОТ КОНЦеВОЙ ТОЧКИ V1 К КОНЦеВОЙ ТОЧКе V2, TO Vi —
начальная вершина этого ребра, a V2 — конечная вершина. Противоположным образом ориентированное ребро, обратное к ребру е, обозначается через е-1 и идет от U2 к V1.
Путь — это последовательность ориентированных замкнутых ребер Єі, еп, такая, что начальная вершина ребра е1+1 — это конечная вершина ребра elt I=O-=S^n—1. Можно рассматривать пустой путь. Концы пути — это начальная вершина ребра ех и
318
Гл. V. Теория малых сокращений
конечная вершина ребра еп. Замкнутый путь, или цикл,— это такой путь, в котором начальная вершина ребра et является конечной вершиной ребра еп. Путь называется приведенным, если он не содержит последовательной пары ребер вида ее'1. Приведенный путь ві ... еп называется простым, если при іф\ начальные точки ребер et и є, различны.
Поскольку M планарен, области из M и компоненты из — M можно ориентировать таким образом, что при прохождении границ областей из M и компонент из —M каждое ребро из M будет пройдено дважды — по одному разу в каждом из возможных направлений. Если D — область из Al с данной ориентацией, то любой цикл минимальной длины, включающий в себя все ребра из dD, в котором все ребра ориентированы в соответствии с ориентацией области D, называется граничным циклом этой области. Если M связна и односвязна, то граничный цикл для M — это цикл а минимальной длины, содержащий все ребра из границы для УИ и не имеющий самопересечений в том смысле, что если et и с/+1 — последовательные ребра цикла а, такие, что ег оканчивается вершиной vi то ет1 и е1+1 — соседние ребра в циклически упорядоченном мно| жестве всех ребер карты М, начинающихся вершиной v. I
Диаграммой над группой F называется ориентированная карта M вместе с функцией ф, сопоставляющей каждому ориентированному ребру е карты M метку ф(е) из F таким образом, что если е — ориентированное ребро из М, а е-1— противоположным образом ориентированное ребро, то ф(е-1)=ф(е)-1.
Если а — путь в М, Cx=C1 ... eh, то положим ф(а)=ф (C1).. . ... ф(еь). Если D — область из М, то ее меткой называется элемент ф(а), где а — граничный цикл области D.
Пусть F — свободная группа с данным базисом. С каждой конечной последовательностью (сь ..., Cn) нетривиальных элементов свободной группы F можно связать диаграмму M (си ..., сп), являющуюся ориентированной картой с функцией метки ф со значениями в F, удовлетворяющей следующим условиям:
(i) Если е — ребро из М, то ц>(е)Ф1.
(ii) M связна и односвязна с выделенной вершиной О на дМ Существует граничный цикл C1 ... et карты М, начинающийс
