Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если S* рекурсивно перечислимо, то существует многочлен перечисляющий S*. Таким образом, zZS* тогда и только тог;|| когда Q(г, Xi2, Xim) имеет корень.
Можно применить классический диагональный метод. ^*—У(Q)- Зададим вопрос, в каком из множеств, S или S*, леа е*. По определению множества S*
е* ZS* тогда и только тогда, когда Q (е*, Xi1, ..., Xin) имеет коре!)
Однако в этом случае е* =у (Q) Z S по определению. Этим протї речием завершается доказательство теоремы. ?
Доказательство теоремы Хигмана о вложении начнем введен» одного из ключевых понятий Хигмана.
Определение. Подгруппа Я конечно порожденной группь называется удобной 1) в G, если группа
GH = <G, t; t~lht = h, hZH>
вложима в конечно представленную группу. Заметим, что если
Hg=G^K,
причем G и К конечно порождены и H удобна в К, то H удобна в і Это замечание часто будет использоваться в неявной форме.
Следующая лемма показывает, какое отношение имеет понят^ удобности к нашим целям.
Лемма 7.6. (Метод подъема Хигмана2).) Если R — удобь нормальная подгруппа конечно порожденной группы F, mo Fh может быть вложена в конечно представленную группу.
По предположению группа
FR = <F, t; t~lrt = r, rZR>
вложима в конечно представленную группу Я. Предположим, что X1, ..., Xn — данные порождающие группы F. Сохраняя конечную!
представленность группы Н, будем считать, что элементы X1.....хЛ
содержатся среди порождающих символов данного конечного пред-Г ставлення группы Я. Пусть F — изоморфный экземпляр группы Ft с порождающими X1, хп. Если w— некоторое слово на по-Г рождающих группы F, tow Z^ будет обозначать то же слово, в ко-| тором Xi заменены на xt.
7. Теорема Хигмана о вложении
299
В группе FR подгруппа L, порожденная множествами F и /-»Fr, является свободным произведением групп F и I-1Ft с объединенной подгруппой R. Определим гомоморфизм ф: L-+FIR, полагая Ф (w) ==ш и ф (1'1Wt) = 1. Определение корректно, так как согласовано с объединением.
Рассмотрим группу H X FlR. Для обозначения элементов группы будем использовать упорядоченные пары. Рассматривая L как подгруппу в Н, определим отображение гр: L-+LXF/R, полагая гр(1)=(1, ф(0); понятно, что оно инъективно. Поэтому можно образовать HNN-расширение
K = (HxFiR, s; S-1V, \)s = (l, Ф(/)), /€Д>.
Множество определяющих соотношений для К может быть представлено как объединение определяющих соотношений для FIR, определяющих соотношений для Н, соотношений, согласно которым порождающие группы H коммутируют с порождающими группы FIR, и соотношений S-1U, l)s=(l, ф(/)) над некоторым множеством порождающих группы L. Поскольку все участвующие в рассмотрении группы конечно порождены, a H конечно представлена, для доказательства того, что К конечно представлена, достаточно показать, что определяющие соотношения группы FIR следуют из остальных соотношений. Предположим, что w — слово от порождающих группы FlR, такое, что W=I в FJR. Тогда соответствующее слово w от порождающих группы F лежит в R. Далее,
s(w, l)s_1==(t?\ w).
Поскольку w?R, то t~1wt=w, так что
(w, \) = (w~lwt, 1).
Однако по определению отображения ф
S(^1Wt, \)s = (w, 1).
Отсюда вытекает w=l. Таким образом, К— конечно представленная группа, в которую вложена группа FIR. ?
Поскольку любая рекурсивно представленная группа имеет вид F/R, где F — конечно порожденная свободная группа, a R — рекурсивно перечислимая нормальная подгруппа в F, то лемма показывает, что для доказательства теоремы Хигмана о вложении достаточно показать, что рекурсивно перечислимые подгруппы
КОНеЧНО ПОрОЖДеННЫХ СВОбОДНЫХ ГруППЫ удобны. В JTOM состоит
общая стратегия доказательства.
Для перехода к изучению удобных подгрупп нам понадобятся некоторые начальные примеры и способы построения удобных под-
300 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
групп исходя из подгрупп, про которые уже известно, что они я ¦ляются удобными. Если HaK — подгруппы группы G, то Gp{ К) — подгруппа в G, порожденная множествами H и К. В данн разделе обозначение (G, t; /_1Я/=Я) будет означать HNN-расш рение группы G, такое, что t~lht=h для всех /г Є Я.
Лемма 7.7. Пусть G — конечно порожденная группа, вложи
в конечно представленную группу.
(і) Каждая конечно порожденная подгруппа группы G удобна в (и) Если HuK — удобные подгруппы eG,mo H Г) К и Gp {Н,К}
удобные подгруппы в G.
? Утверждение (і) очевидно, так что можно перейти к дока тельству п. (ii). По предположению Gh= <G, t; t'1 Ht = Hy мож быть вложена в конечно представленную группу М, a Gk = <G, s-1Ks = Ky вкладывается в конечно представленную группу Свободное произведение с объединенной подгруппой
P = <M*N; G = Gy
конечно представлено, поскольку G конечно порождена. Легк проверить, что подгруппа Gp {G, ts} группы Я изоморфна груп
<G, и; U-HHnK)U = HnKy, причем изоморфизм задается посредством отображения g>—> u\-*ts. Таким образом, ЯП К — удобная подгруппа. По лемме Бриттона в P
Gp {Я, ^ = GpIs-1Gs1 J-1G/} DG.
Поскольку группы в правой части конечно порождены, а для пер сечений лемма уже доказана, Gp{Я, К} — удобная подгруппа.
