Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Из этого предложения видно, что Dn(x) + Dn(y) есть приближенное значение х + у с точностью до 2-10-"; определение 4.1 сводится, таким образом, к введению суммы двух действительных чисел с помощью последовательности десятичных приближений, как это и реализуется на практике с применением все более мощной вычислительной техники. Но нужно иметь в виду, что десятичное приближение порядка п числа х + у необязательно равно Dn(x) + Dn(y): это затруднение связано с оставляемым «в уме» при выполнении сложения.
Предложение 4.3, Сложение действительных чисел ассоциативно.
4. СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА $1
Доказательство. Для любых действительных чисел х, у, г находим с помощью повторного применения предложений 3.3 и 4.2:
А, (X) + /)„ (у) + А,(2)<(* + У) + 2<
^ Аг М + Аг (У) + {%) + 3 • 10 Л,
&п (х) + Ах (у) + (г) ^ х + (у + г) ^
^Оп(х) + Оп(у) + Оп(г) + 3 - 10~л.
Это доказывает, что (* + #) +г и х-\-(у-\-г) допускают одинаковые десятичные приближения с точностью до 101“" (так как 3* 10“" < 101“"). В силу произвольности п равенство (х + у) + г = х + (у + г) вытекает из предложения 3.4. ?
Предложение 4.4. Для сложения действительных чисел нулевая БДД 0, 00 ... 0 ... является нейтральным элементом, и для любого действительного числа существует противоположное.
Доказательство. Обозначая через 0 нулевую БДД, получим
(у/х еК) х + 0 = вир (Оп (х) + 0) == вир Оп (х) = х.
я<= N п еN
Тем самым 0 — нейтральный элемент. С другой стороны, ДЛЯ действительного X = Хо, Х\, ... Xп ... введем БДД у = уо, у\ ... уп .. •, определенную условиями
Уо=— 1— х0 и уп = 9 — хп при я>1.
Если х не является десятичной дробью, то * + У = 8ир (Оп(х) + Оп(у)) = зир (—1, 9 ... 9) = 0.
п раз
Если х есть десятичная дробь х = лг0, х\ ... х„ 0 ... 0 то у является несобственной БДД для десятичной дроби у', такой, что у' + х — 0.
В обоих случаях у действительного х имеется противоположное. ?
22
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Теперь для действительного х можно определить его абсолютную величину:
| л: | = вир (л:, — х), и без труда доказать неравенство треугольника (V (х> У) е К2) 1* + */1^1*! + 1*/1>
откуда следует также, что |у — х\^\\у\— \х\\.
Чтобы иметь возможность резюмировать основные полученные результаты, напомним классическое определение.
^ Определение 4.2. Упорядоченной абелевой группой называется абелева группа (б, +)1), снабженная отношением линейного порядка, таким, что неравенство х ^ у влечет за собой
(у/г^в) х + г^у-\-г
(при этом из строгого неравенства х < у следует также строгое неравенство х + г < у + г).
Теперь мы можем подвести итог:
? Теорема 4.5. (К, +) есть упорядоченная абелева группа.
5. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
Для того чтобы получить возможность охарактеризовать подгруппы группы К и построить теорию измерения величин, удобно ввести понятие архимедовой группы.
^ Определение 5.1. Архимедовой группой называется упорядоченная абелева группа (6,+), такая, что для любой пары (а, Ь) элементов б, где а > (Ь, существует пеМ, при котором па > Ь.
!) Если не оговорено противное, абелевы группы будут рассматриваться в аддитивной записи, нейтральный элемент в О обозначаться через 0о или просто 0, когда это не ведет к путанице.
б. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
23
Изучение архимедовых групп основано на следующем утверждении, отражающем возможность «градуировать» д.
? Предложение 5.1. Пусть G—архимедова группа и а > 0 — ее элемент. Для любого хбб существует единственное целое р, для которого
ра<*< (р+ 1)а. (1)
Доказательство. По аксиоме Архимеда множество {neN|na > *} есть непустая часть N1)- Если через q обозначить ее наименьший элемент, то целое число p = q—1 будет единственным, для которого верно (1). ?
Основная теорема о гомоморфизме
? Теорема 5.2. Пусть G — архимедова группа. Для каждого а > Оо из G существует единственный неубывающий гомоморфизм ha аз G в (R, +), такой, что ha(a)= 1, и ha — строго возрастающий и потому инъективный.
Доказательство проводится в несколько шагов.
а) Предварительные замечания, единственность. Пусть задан элемент *eG. Так как группа G архимедова, то по предложению 5.1 существует единственная последовательность (рп) относительных целых чисел, такая, что
(уп <= N) рпа < 10"* < (1 + рп) а. (2)
Если гомоморфизм ha существует, то должно быть ha {Pn?) < ha (10"*) <М(1 + Рп) а), где ha (рпа) = pnha (а) = рп, ha ( 10"*) = 10nha (*) и
ha ((1 + рп) а) = 1 + рп, поэтому
(V«eN) 10-прп < к (*) < 10~" ( 1 + Рп), (3) откуда, как мы сейчас увидим, следует, что
ha (*)=-• sup (l0~"p„). (4)
n e N
*) Здесь неявно предполагается, что х > 0; случай х < О также легко рассматривается. — Прим. перев.
24
{У- 1. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В самом деле, неравенство (3) показывает, что ка(х) является мажорантой множества Р = ={Ю~”рп}па.м; оно также показывает, что всякая мажоранта т множества Р удовлетворяет условию т^:ка(х)—10~п; действительное число 6 = зир(Р) удовлетворяет, следовательно, неравенствам
(V" е 14) К (х) - 10-" ^ Ь < К (х),
откуда, применяя предложение 2.2 к действительному числу На(х) — Ь, получаем требуемое равенство Ь = = На (X).
