Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 2

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 95 >> Следующая

После гл. IV, посвященной проективной геометрии, мы показываем в гл. V, как можно воссоздать аффинную или проективную геометрию, отправляясь от аксиом инцидентности и (в случае плоскости) аксиомы Дезарга или Паппа. Действительная аффинная плоскость является предметом отдельного изучения с использованием результатов гл. I.
В гл. VI возобновляется традиционное построение элементарной геометрии, облегченное предварительным знанием поля К и независимое от постулата Евклида: достаточно продвинутое изучение позволяет нам установить ряд предложений, эквивалентных этой аксиоме (например, существование прямоугольника), и увидеть, что произойдет, если от нее отказаться. Мы заканчиваем обзором гиперболической неевклидовой геометрии.
Изложение дополнено многочисленными упражнениями, позволяющими читателю проверить на деле приобретенные знания и поручить много интересных результатов, для которых не нашлось места в книге.
Чтение этого сочинения потребует лишь знакомства с алгебраическими понятиями в объеме программы первого курса университета. Мы надеемся, что нам удалось дать достаточно подробные и простые доказательства, которые не потребуют от читателя чрезмерных усилий (но и не скроют никаких трудностей)'. Мы надеемся также сделать понятными многие краси-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
вые теоремы, лежащие в основе геометрии, и принести пользу в деле подготовки преподавателей. Наша цель будет полностью достигнута, если эта книга вызовет у читателя желание продолжить занятия и обратиться к более специальным работам; для этого мы приводим достаточно обширную библиографию, отражающую интерес к этим вопросам во многих странах.
Я хочу выразить здесь свою признательность профессору Полю Деювелю и издательству «Presses Universitaires de France», взявшим на себя публикацию этого труда в серии «Математика»; я благодарю также Алину Робер и Мирей Морель за плодотворное сотрудничество в деле преподавания оснований геометрии и дружескую поддержку в деле издания этого курса. Наконец, большую услугу нам оказал наш коллега Жан Лефевр, прочитав и исправив корректуры.
Новые издания книги выиграли благодаря замечаниям наших читателей, и в особенности Ги Хирша и Леонса Лезье; я им весьма признательна.
Глава І
ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ВВЕДЕНИЕ
Этимологически, геометрия есть наука об измерениях на поверхности земли; проистекая из размышлений землемеров, она неотделима от понятия числа. Означает ли это, как мы часто слышим, что метрическую геометрию можно надлежащим образом изучать, лишь овладев в совершенстве понятием действительного числа? Иными словами: должно ли изучению геометрии предшествовать строгое построение ПОЛЯ действительных чисел? На это можно ответить просто: да, если речь идет об учителе; нет, если речь идет об учащемся. Для того чтобы приступить к изучению евклидовой геометрии, достаточно не слишком определенного представления о числе: свойства чисел, которые придется применять (отношение порядка, структура поля, существование квадратных корней), естественно вводятся по ходу изложения. Далекое от предположения о наличии полных знаний этих свойств, преподавание геометрии дает, напротив, серьезные мотивации для расширения представлений о числе: это предусматривают новые программы для студентов. Однако для того, чтобы вести учеников по этому пути, преподаватель должен знать, куда приводит такое эмпирическое изложение. Вот почему мы начинаем наш труд с элементарного построения поля действительных чисел и изучения его характерных свойств, находящих приложения в геометрии.
Чтобы не отягощать изложение, мы не будем говорить здесь о топологии Р: она естественно вытекает из упорядоченности; именно это, интуитивно гораздо более ясное понятие, мы изучим подробно. Изложение топологических свойств Р можно найти в любом курсе анализа, например в [В02], гл. IV, где содержится исторический очерк, и в [ЬР—АИ], т. 2.
10
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Перелистывая разные книги по анализу, мы замечаем, что существует много способов «построить» Р. Несомненно, наиболее приемлемый из них тот, который основан на бесконечных десятичных дробях: неограниченно продолжаемое действие деления и, более общо, задача измерения величин в десятичной системе счисления приводят к записи таких символов. Поэтому естественно, что понятие о таком подходе дается в начале обучения. Другое преимущество этой конструкции состоит в том, что она дает аксиоматическую характеризацию 1) поля действительных чисел (см. § 6—8), что позволяет доказать эквивалентность различных конструкций Р (см. [ЬР2]).
Аксиомы, возникающие из задачи измерения величин, мы проанализируем далее (§ 5). А пока мы только покажем, что эта задача приводит к записи бесконечных десятичных дробей.
При выбранной единице измерения и мерой с точностью до единицы по недостатку величины g называется наибольшее число «содержащихся» в g единиц, т. е. наибольшее целое число р, удовлетворяющее условию ри ^ g. Это целое ро характеризуется двойным неравенством
р0«<г<(1 + ро)и. (1)
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed