Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 4

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 95 >> Следующая

... О ..., получаемую из данной добавлением бесконечной последовательности нулей вслед за десятичными знаками <1. Если <?) снабдить лексикографическим порядком, а на О рассмотреть естественный порядок, то, как легко видеть, задаваемое этим соответствием отображение /: 0 ->^5 есть строго возра-
стающее вложение.
Это вложение / называется каноническим\ оно позволяет отождествить О с подмножеством в Ф и срав-
14
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
нивать БДД с десятичными дробями. В частности, каждая БДД х = Хо, Х\ ... хп ... удовлетворяет неравенствам Х0 х < Х0 + I и (V/2 е N*) X ^ Х0, Х\ ... Хп.
Более того, если существует целое п ^ 1, такое, что хп Ф 9, то также х < x0i хх ... (хп + 1 )•
Теорема о верхней грани
Определение 2.1. Говорят, что подмножество А динейно упорядоченного множества X имеет верхнюю грань l) Ь е Ху если
1) Ъ есть мажоранта Л, т. е.
(V* е Л) х ^ Ь\
2) Ь есть наименьшая из мажорант Л, т. е. для любого а е X, такого, что а < 6, в Л существует элемент х со свойством х > а.
Если такой элемент Ь существует, то он единствен и обозначается sup Л.
? Теорема 2.3. Всякое непустое и мажорируемое подмножество Л множества 2D имеет верхнюю грань.
Доказательство. Пусть а = а0, а\ ... ап ... есть некоторая мажоранта для Л. Если х = х0> Х\ ... хп ... — произвольный элемент Л, то х ^ а и я0 ^ а0. Множество Л о = {d0(x) \х ^ А) целых частей элементов из Л есть часть Z, мажорируемая числом я0; отсюда вытекает, что Л0 имеет наибольший элемент 60 (см. примечание в начале § 2).
Обозначим через В0 непустое множество, образованное теми элементами Л, целая часть которых равна boy т. е. В0 = {х<= A\do{x) = bo}\ поскольку десятичные знаки порядка ^ 1 суть целые, лежащие между О и 9, то можно положить
bx = sup {dx WUe В0}> Вх = {х В01 dx (х) = Ьх}
(В 1 образовано теми элементами из В0, первый десятичный знак которых — наибольший возможный). Ин-
*) Наряду с термином «верхняя грань» употребляются также термины «точная верхняя грань» и «супремум». — Прим. пв' рее.
3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Щ
дуктивно мы определяем последовательность (Вп) непустых подмножеств в Л и последовательность (Ьп\ целых чисел 0 ^ Ъп ^ 9 при п ^ 1, такие, что (Уяе ? М)
ьп+1 = эир {йп+1 (х) | X е Вп},
Вп+1 = {х<=Вп I йп+, (х) = &п+1}.
По индукции проверяется, что Вп есть множество элементов х из А, таких, что Оп(х) = Ь0, Ь\ ... Ьп (см. обозначения в конце § 1). Любая мажоранта А не может быть меньше Ь — Ьо, Ьу ... Ьп ? ? ? ; с другой стороны, по построению, Ь есть мажоранта для А. Итак, Ь = эирЛ. ?
Аналогично доказывается, что любое непустое и минорируемое подмножество 3) имеет нижнюю грань.
Пример. БДД, образованную из последовательности нулей, обозначим /(4); множество 3>~ = {х е е </(О)} состоит из БДД с целой частью х0 < < 0. Его верхняя грань есть БДД (—1), 9 ... 9 ..., все десятичные знаки которой порядков ^ 1 равны 9. Множество <Ю+ = {х е 3)\х > /(0)} имеет своей нижней гранью /(0).
3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Мы определим действительные числа с помощью их представления посредством БДД. Но сначала следует исключить БДД, называемые «несобственными».
Обозначения. Для каждого целого &, 0 ^ ^ 9,
через обозначим совокупность БДД х = х0, х\
... хп ..., таких, что хп = к для всех п, начиная с некоторого (периодические БДД с периодом (&)). При & = 9 эти БДД будем называть несобственными.
В § 2 мы определили каноническое вложение / множества О в 3>, образ которого / (О) очевидно есть
3)0. Менее очевидно
16
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Предложение 3.1. Отображение / множества О на ^)9, определяемое условиями
? (й) — (й — 1), 9 ... 9 , если й е Z,
? (Й) = Й0, ^1 • • • ^л-1 (^я — 1)9 ... 9 ..., если
й = й0, ^1 • • • где Йя ^ О, есть строго возрастающая биекция.
Для каждого й^Ю его образ *(й) будет называться несобственным десятичным разложением д, в то время как БДД ](д) —собственным.
Заметим, что всегда ?'(й) < /(й) и не существует БДД х, для которой ?’(Й) < х < /(й).
Каноническое вложение / позволило нам отождествить 0 с частью 3)\ обобщим теперь понятие числа, приняв
? Определение 3.1. Действительными числами называются элементы множества т. е. бесконечные
десятичные разложения, в которых бесконечное число десятичных знаков отлично от 9.
^ Множество действительных чисел обозначается К, и каждая десятичная дробь й отождествляется с действительным числом /(й).
Распространение на К теоремы о верхней грани
? Теорема 3.2. Каждое непустое и мажорируемое подмножество Л с К имеет в К верхнюю грань.
Доказательство. Пусть Ь — верхняя грань А в 2). Если ЬфЗ)9, то Ь есть верхняя грань Л в Р. В противном случае Ь есть несобственное разложение десятичной дроби V > Ь\ поскольку не существует БДД, лежащей между Ъ и то Ъ' — наименьшая мажоран-
та Л в К, т. е. верхняя грань Л. ?
Заметим, что с учетом отождествления О с 2)0 Для любого действительного числа Х = Хо, Х\ ... хп ... имеем
*= вир ?„(*), где Оп(х) — х0,х х...хп. (1)
п е N
3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ 17
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed