Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
о * / \ U--т Для О < X < 2ft,
3. Функцию / (х)= j 2/i \ \ »
IO для 2ft < X ^ я разложите на промежутке
[0; я] по косинусам.
4. Функцию f (х) = X разложите на промежутке [0; я] по синусам.
80
Ответы к упражнениям для самостоятельного решения
§ 1.
1. 1K = — -j. 2- 3% + у — 2 = О, x — Зу + 16 = О, Зл; + у — 32 = О,
зх л. 16
л; — Зу — 14 = 0. 3. а) ф = —; б) ф = —; в) ф = 0; г) ф = arctg— . 4. 29л; —
4 2 11
— 2у+33=0. 5. Перпендикулярны: а), б), в); параллельны: д), е). 6. а) т=—4, п Ф 2 или т = 4, п ф —2; б) т = —4, п = 2 или т — 4, п = —2; в) т = О, /г — любое. 7. m = О или m = 6. 8. а = —7. 9. Зл; — 2у — 12 = О и Зл; — 8у+
/25 36\
+ 24 = 0. 10. С (—U 4) или Cl у;--- J. 11. 2. 12. 4х — 12у + 7 = О и 6* +
+ 2у—5=0. 14. а) Зл; + 2у — 7 = 0; б) 2л; — у = 0; в) у — 2 = 0; г) х — 1 = 0; д) 4л: + Зу — 10=0; е) Зл; — 2у + 1 = 0. 15. а) Окружность с центром в полюсе и радиусом, равным 5; б) луч с началом в центре полюса, составляющий с поляр-
JX
ной осью угол, равный —; в) прямая х— 1; г) прямая у= 2; д) окружность (х— 5)2+ + у2 = 25; е) окружность л;2 + (у — З)2 = 9; ж) два луча с началом в центре полюса, составляющие с полярной осью соответственно углы — и —; з) концентр и-
6 6
ческие окружности с центром в полюсе, радиусы которых определяются по фор-
JX
муле г = 2зх/г; и) четырехлепестковая роза.
§ 2.
1. а) л;2+у2 =16; б) (х - 2)2 + (у - 4)2 = 10 ; в) (* — I)2 + у2 = 1.
81 25 X2 V2
2. (*-2)2+(у-1)2 = - и (*+8)2+ (у+ 7)2= 3. а)-+^- = 1;
X2 у2 у2 X2 X2 у2 X2 у2 X2
^Vb+Te=1' в) ю5 + й= І; Г)Й+ІІ=І; д) Гз + ? = ІИЛИ ш +
4
V2 4 25
+ ?- = 1. 4. а) 5 и 3; б) F1 (-4; 0), F2 (4; 0); в) е = т ; г) х = ± Т. 5. гг =
У о 4
X2 V2 л;2 V2 л:2 v2 г2
= 2,6^=7,4.6.3)--^=.; б) --?=,; в) --^=Ur)--
у2 X2 у2 , л;2 у2
- Y = 1; Д) — — — = 1 или — — — = 1. 7. а) При I m I > 4,5; б) при т =
T Гб~
= ±4,5; в) при I т \ < 4,5. 8. а) у2 = —4л;; б) у = л;2; в) у2 = —28л;. 9. у = 18. 10. а) Эллипс; б) парабола; в) ветвь гиперболы; г) эллипс; д) ветвь гиперболы} е) парабола; ж) окружность; з) окружность.
§ 3.
1. а) 22; б) 6; в) 7; г) —200; д) 129; е) 41. 2. 35. 3. а = 10. 4. |j. 5. 6. 6. —11,
5
7. — 6— 8. 16. 9. a) 3; б) 27; в) 300. 11. a) {6; —4; —6}; б) {—12; 8; 12}.
12. {—4; 3; 4}. 13. 14. 14. 5. 15. а) Правая; б) левая; в) левая; г) правая; д) векторы компланарны. 16. а) Да; б) нет; в) да. 17. И.
81
§ 4.
у + 5 = 0; 4 —6 9 '
в) ^—^ = = 2j7^-. 13. 60°. 14. d = 21. 15. * = 3 — 6/, у = — 1 + 18/,
—11 17 13
х — 3 у+2 2—4
г = _5 + 9г. 16. -—=^—==-- 17. {5;-1;0}. 18. т = -3.
о о —/
19. Зх + 2у + z = 0. 20. 15.
§ 6.
1 3 1
1. 5.2. —.3. 0. 4.-.5. 3.6. — — .7. 1.8. 0.9. со. 10. -5.11. —24. 12. —18.
2 2 56
я 5 3 3 7 15 1
13.—. 14.—. 15.— 16.—. 17. —. 18. —. 19. —-7=. 20. 1. 21. 1. 22. е~\ 11 4 5 2 2 154 Y2
1 7 15
23. е~п. 24. 10. 25. —1. 26. 1. 27. 1. 28.—. 29. 14. 30. —. 31. — — 32.—
3 2 14 3
33. 1,03. 34. 0,99. 35. 0,97. 36. 1,02. 37. 0,05. 38. —0,01. 39. 1,06. 40. 0,9. §7.
2
3 — jc 2 In л; 2 -о- г,
1. je2 -. 2. -. 3. — bx (a + bx2) 3. 4. 2хех — 15 sin х cos2 jc.
ех л; In 10 3 v
2 — — / sin х\ [ \\х
5. — cos X sin 3 х. 6. — tgx. 7. Uosxlnx+—Jxslnx. 8. (l+—JX
ff 1\ 1 \ 3 — tg2t 2t 10 -\ r
* у In*— X 5 ' т (1 + <*) (6<+ arctg*2)
—>
Л= sin 2 ]/Т7 + (2 In 3)32t k. 15. 2/ cos /2T- Sm (tg ^ 7 + ^-
2Vt f 1 cos21 ' ^ 2VT(T=J)'
16- узЬг 17' H^sin. + tg, + ^.)^. 18. -JL. 19. - J^. 20 ¦-«rcsfa^F^ngogB^) 1 cos (1Qg5 X)-tg 1пдс\ V *ln5 _ * cos2 In* 2/x(l — *) /
3 In2 arccos Vx _ /, 2x2
21. — —- 22. 3(x2+l)3* 1п(л;2+1) +
2 (arccos )Vx(l—x) V x2 + 1
23- - catxwx+mii + vx)-24' *"+3(4lnx +25- °-
82
1. X + 2y — 3z = 0. 2. je + 4y + Iz + 16=0. 3. а), б), д), e) Взаимно парал-
2 3 6 И лельны; в) и г) взаимно перпендикулярны. 4. 8. 5. а) —х — ~ у — —г — Л~ ®'
3 6 2 2,2 1 1
б)— — х+— у — — Z — 3=0; в)-х + ~у--г-~- 0. 6. а) По одну сто-
7 7/ о о о о
рону; б) по разные стороны. 7. d = 2. 8. 2х — 2у — г — 18=0 и 2х — 2у — z +
ч ( х — 2=0, ч х —2 у + 5 z — 3 + 12 = 0. 9. arccos 0,7. 10. а) б)
. Асимптот нет. 4. Нуль функ-
§ 9.
На интервале
я
: min
я 1 4~; УТ
max —я;
. 4
V2
7. Нули функции: х = 1 — /3, х = 1 + /3. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Точек разрыва нет. Точек перегиба нет, max (1; У~3). Асимптот нет.
§ Ю.
(5 + 7х)18
