Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Егерев В.К. -> "Задачник практикум по математическому анализу" -> 21

Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.

Егерев В.К. , Несененко Г.А., Козлова В.А., Диканова З.А., Корсакова О.С. Задачник практикум по математическому анализу. Под редакцией Егерева В.К. — М.: Просвещение, 1981. — 87 c.
Скачать (прямая ссылка): zadprmavk1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 29 >> Следующая


ряющее начальным условиям: а) у

х=0

0; б) у'

= —1.

х=0

9. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно считать пропорциональной квадрату скорости. Найдите закон движения, если начальная скорость равна нулю.

Указание. Воспользуйтесь вторым законом Ньютона.

10. Даны уравнения: а) у" + 2у' — у = 0; б) ху" + у' = 1 + х\ в) ху"' = (у")2-

1. Понизьте порядок уравнений. (Что удобно принять за новую неизвестную?)

2. Определите тип полученных уравнений первого порядка.

III. Упражнения для самостоятельного решения

1. Решите уравнения:

a) xY + ху' = 1; б) уу" - у' (1+ у') = 0; в) у" = -Л - г) у' (1 +

+ У'2) = ау"\ д) у'2 — уу" = у2 . у'; е) ху"' + у" = 1 + х; ж) у'"2 = 4у\

2. Найдите удовлетворяющие заданным начальным условиям частные решения уравнений:

а) 1 + / = 2уу"; у

б) у у" + у'2 = у'3; У

в) ху" = УГ+У*; у'

- 1, /I = 1;

X=I X=I

х=0

1, у'

о, у

х=0

= _5_ х=1 4

г) /"'+/''= 1; у

= -1, /'


Jl
Я

= 1.

64

§ 18. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

I. Основные сведения из теории 1°. Закончите определения:

1. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка у" + A1 (х) у' + A2 (х) у = f (х) называется а) однородным, если f (х) и б) неоднородным, если f (х) ... .

2. Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида у<л)+ а^"^ + + a2y(n~v + ... + Ctn^y' + апу = где аъ а2, ап — ... .

2°. Составьте характеристические уравнения для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

а) у" _ + 2у = 0: в) у' + 4у = 0:

б) f + 3/ + I = 0: г) у" + ру' + qy = 0: ... .

3°. Каково общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет;

а) различные действительные корни kl9 k2,

б) равные действительные корни A1 = k2 = k\

в) комплексные корни klt2 = а ± ?#

II. Примеры и упражнения

1. Какие из нижеприведенных уравнений являются: 1) линейными; 2) линейными неоднородными; 3) линейными однородными; 4) линейными однородными с постоянными коэффициентами: а) у" + + 2у' + Vy = 0; б) уу" + tg X = 0; в) ху" + у' = 1+ х\ г) у" + + 2у' — ху = 0; д) у" + 2у = у' tg х; е) sin х = у" — у'\ ж) х2у'"=

= (у")2?

2. Решите уравнения:

а) у" + 2/ - у = 0; б) у" + 4/ + 4у = 0;

в) у" _ 5у' = 0; г) у" + 2/ + 5у = 0. Решение.

1. Составим характеристическое уравнение: ... •

2. Найдем его корни kl9 k2\ ... .

3. Общее решение уравнения: ... .

Для уравнения г) найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у | = 2, yr I = 0: ... .

I х=0 I х=0

3. Решите линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и проверьте ответы:

а) / — 4у = 0; б) у'" — 8у = 0.

4. Решите линейное уравнение ху" — у' = 0.

5. Цепь длиной 6 м скользит вниз с подставки без трения. За сколько времени соскользнет вся цепь, если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи?

65

Решение

1. Обозначим через h (t) длину той части цепи, которая свисает с подставки в момент времени t. По условию h (0) = ... м.

2. Пусть р — линейная плотность металла, из которого сделана цепь. Тогда масса всей цепи т = а масса части цепи, свисающей с подставки в момент времени t, равна ... .

3. По второму закону Ньютона F = mh". Цепь скользит под действием веса той части цепи, которая свисает с подставки, поэтому F=....

4. Получим следующее уравнение движения цепи: ... .

5. Решим дифференциальное уравнение движения цепи, где C1 и C2 — ... :

а) примем во внимание начальные условия задачи:

h\ = ... и h'\ = ... ;

I *=о I /=о

б) уравнение движения цепи примет следующий ВИД!

h = — e -А— е

2 2

в) находим время, в течение которого вся цепь соскользнет с под-ставки (учитывая, что еу 6 > 1, так как t > 0): ... .

III. Упражнения для самостоятельного решения

1. Решите следующие линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

а) у" + 2/ = 0; б) у" + 9у = 0; в) у" - 6у' + 9у = 0;

г) 4'

dt2

-20- + 25х = 0; д) 25^-10^ + 172 = 0.

dt

2. Найдите решения следующих уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

а) у" + 4у' + 29у = 0; у I = 0, у' I = 15;

х=0 I х=0

б) 4у" + 4/ + у = 0; у

= 2,

X=O

0.

х=0

3. Найдите общие решения уравнений:

а) у"' — 4у" + Зу' = 0; б) у"' — 8у' — Зу = 0; в) у<4> + у" — — 2у = 0.

4. Найдите удовлетворяющие заданным начальным условиям частные решения уравнений:

= 2,

а) Г = у

б) у"' — 2у" + 4у' — 8у = 0; у

у' I = 0, у"

х=0

х=0 ^

= 1, У'

х=0

= 4, у"| = 4.

х=0 х=0

66

§ 19. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

I. Основные сведения из теории

1°. Закончите утверждения:

1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: у = Qy1 + С2у2, где уг и у2 a C1 и C2 ... .
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 29 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed