Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
10. Определите, в каком из приведенных в примере 3 уравнений переменные не разделяются.
11. Решите уравнение (1 — — cos — ] dx + cos — dy = 0.
\ X X j X
Решение.
1. Это уравнение ... .
2. Положим — = z, тогда у = xz, dy = ... ,
X
12. Решите уравнение (х2 + ху + у2) dx — x2dy =0. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию у\х=1 = 1.
13. Составьте уравнение линии, обладающей таким свойством, что площадь трапеции, образованной осями координат, ординатой ее произвольной точки и касательной к ней в этой точке, равна половине квадрата абсциссы выбранной точки.
Решение.
1. Пусть M (х; у) — произвольная точка искомой кривой, (MA) — касательная к этой кривой в точке М, a OAMB — трапеция, удовлетворяющая условиям задачи (рис. 31).
С одной стороны, S0AMB = — X2 по условию. С другой — S0AMB~
2
~ 2 '
2. Для нахождения | OA | используем уравнение касательной MA: Y —у = у' (X — х), где X, Y — координаты произвольной точки касательной, a X1 у — .., ,
61
M
Так как точка А принадлежит и касательной MA, и оси Oy, то ХА = 0, a YА = ... .
3. Площадь трапеции: S0AMB = ... .
4. Искомое дифференциальное уравнение: ... .
14. Определите, какие из приведенных в примере 3 уравнений не являются однороден ? ными.
15. Решите уравнение у' -|--у = 1.
Рис. 31 *2
Решение.
1. Это уравнение—... .
2. Положим у = uv9 где и и и — функции переменной х, имеющее непрерывные производные. Получим: ... .
16. Найдите частное решение уравнения ху' + у — ех = 0, удовлетворяющее начальному условию: у\х=а = Ь.
17. На тело массой т действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен A1). Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное скорости его движения (коэффициент пропорциональности равен k2). Найдите закон движения тела (зависимость пути от времени).
Решение.
1. По второму закону Ньютона т— = F.
dt
2. По условию F = f — /сопр (сила сопротивления направлена в сторону, противоположную смещению). При этом:
а) б) /сопр= ... .
3. Дифференциальное уравнение движения тела:
dv
т— == ... .
dt
18. Решите уравнение у' =-.
2х — у2
Решение.
Определим вид данного уравнения:
а) Можно ли в нем разделить переменные? ... .
б) Однородно ли оно? ... .
в) Является ли оно линейным? ... .
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Из числа уравнений, приведенных в примере 3, решите уравнения а), б), г), е), ж), и), к), л), м).
2. Найдите решения нижеприведенных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
а) у' sin X = у In у, у
б) У1 — У tg X = sec х, у\ = 0;
X=O
62
= V5;
x=0
г) t (1 + dx = (X + xt2— t2) dt, X
t=\
4
3. Диск, начавший вращаться в жидкости с угловой скоростью 3 об/с, через минуту стал вращаться со скоростью 2 об/с. Сила трения, замедляющая вращение диска, пропорциональна угловой скорости вращения. Определите скорость вращения диска через три минуты после начала его вращения.
4. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью и = = 10 км/ч. После выключения на полном ходу мотора лодки скорость ее движения уменьшилась через 20 с до U1 = 6 км/ч. Считая, что сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее скорости, найдите скорость движения лодки через 2 мин после остановки мотора и расстояние, пройденное лодкой в течение 1 мин после остановки мотора.
§ 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
I. Основные сведения из теории
1°. Докажите, что при любых значениях C1 и C2 функция
С /Iv
у = C1X + — служит решением уравнения у" + — у' = —.
X XX2
Подберите числа C1 и C2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям: а) у =2; б) у' I = —1.
x= — 2 \х= — 2
2°. Закончите утверждение.
Общее решение уравнения F (х, у, у', у") = 0 содержит ... произвольных постоянных.
II. Примеры и упражнения
1. Найдите общее решение уравнения у" = —.
2. Найдите частное решение уравнения у'" = sin х, удовлетворяю-
щее начальным условиям: а) у
= 1; б) у'
х=0
= 2; в) у" I = 0.
х=0 х=0
3. Если в уравнении третьего порядка отсутствует неизвестная функция у, то можно принять у' за новую неизвестную функцию Z. Запишите, как выразятся тогда: 1) у"; 2) у"'.
4. Найдите общее решение уравнения у" (х2 + 1) = 2ху'.
63
Решение.
Положим у' = г. Тогда у" = ... .
б. Найдите частное решение уравнения ху" *= у' In—, удовлет-
воряющее начальным условиям: а) у
х=\
-2; б) у'
= 1.
х=\
6. Если в уравнении второго порядка отсутствует переменная х, т. е. если оно имеет вид F (у, у', у") = 0, то можно принять у за независимую переменную, а неизвестной функцией z считать у' (y' =
= — = А Запишите, как выразится тогда у".
dx j
7. Найдите общее решение уравнения 2 (у')2 = у" (у — 1). Решение.
Положим у' = Z1 тогда у" = ... .
у"
8. Найдите частное решение уравнения---у' = 2е у, удовлетво-
