Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
2. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: у = Схух + С2у2 + Уо, ГДЄ Уі и у2 — a C1 и C2 — ... .
3. Если дано уравнение вида у" + р (х) у' + q (х) у = f (х) (1), Фі (х) и Фг (х) — линейно-независимые решения уравнения вида у" (х) + р (x)yf + q (х)у = 0 (2), то а) общее решение уравнения вида (2) у = а б) частное решение уравнения вида (1) (при использовании метода вариации произвольных постоянных) ищется в следующем виде: ... .
2°. Пусть дано уравнение у" + ру' + qy = f (х) (с постоянными коэффициентами) и его частное решение у0. Заполните таблицу:
fix)
у1о
Pn (X) ессх (Pn (х) — многочлен степени п)
Число а не является корнем характеристического уравнения k2 + рк + q = 0
Число...—простой корень характеристического уравнения
Число... —двойной корень характеристического уравнения
еах (Pn (х) cos ?x + + Qm(x) sin ?x)
(Qm (x) — многочлен степени ...)
Числа а ± ?* не являются корнями характеристического уравнения
Числа а ± ?j — корни характеристического уравнения
II. Примеры и упражнения
1. Пусть дано уравнение у" — — + — = ix и известно, что функ-
X X2
v'
ции X и X In X — частные решения однородного уравнения у" —-—Ь
+ — = 0. Найдите общее решение однородного и частное решение
X2
неоднородного уравнений (при нахождении частного решения используйте метод вариации произвольных постоянных).
1 Укажите, в каком виде надо искать у0 при заданной правой части уравнения.
67
Решение.
1. Общее решение однородного уравнения: ... .
2. Частное решение будем искать в виде у0 = C1(X) • х + С2(х) X XX In х, где C1 (х) и C2 (х) — некоторые функции, имеющие непрерывные производные:
а) производная у'0 =
б) подберем функции C1 (х) и C2 (х) так, чтобы тогда у0 ...{
в) найдем у0:
г) подставим у0 и производные уо, Уо в
д) получаем следующую систему для нахождения Ci (х) и C2 (я)
е) частное решение у0 = ... .
2. Найдите общее решение неоднородного уравнения Решение.
1. Сначала решим однородное уравнение у" — 2у' + У = 0:
а) составим характеристическое уравнение:
б) найдем корни характеристического уравнения:
в) общее решение уравнения у" — 2у' + У = 0: ... .
2. Частное решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде у0 = ... .
3. Решите уравнение у" + у + ctg2 х = 0. Подберите C1 и C2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям
= 0, у'
Я
—1:
Я
*="2
4 . Решите уравнение у' — — = —, используя метод вариации
X X
произвольных постоянных.
5. В каком виде можно искать частные решения следующих уравнений: 1) у" — 2у' + 5у = х2ех ; 2) у" — 2у'+у = (\—х)ех'>
Решение.
1. а) Здесь а = п =
б) для однородного уравнения у" — 2у' + 5у = 0 составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
в) частное решение можно искать в виде у0 = ... .
6. Решите следующие уравнения: 1) у" + 2у' = (х — 2) е~2х\ 2) у" + 9у = хе~2х.
Решение.
1. а) Решим сначала однородное уравнение у" + 2у' = 0: б) решим данное уравнение: ... .
7. В каком виде можно искать частные решения уравнений: 1) У" + Зу' + 2у = л3; 2) у" + 4у = 5; 3) у'" — у' = 2x1
Решение.
1. Здесь а = п = уо = ... ¦
38
8. Решите уравнение у" Ц- 2уу — 1 — х. Подберите C1 и C2 так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям
х=0
1,
—2.
х=0.
9. Решите уравнение у' — у = ех .
10. Материальная точка массы 1 г движется по оси координат в точку X0 = 2 под действием постоянной силы F. Сопротивление среды пропорционально расстоянию от движущейся точки до X0 (коэффициент пропорциональности равен 4). Найдите закон движения, зная, что начальная скорость точки равна нулю.
И. В каком виде можно искать частное решение уравнения у" —
- Зу' + 2у
+ 1?
Указание.
Используйте следующее утверждение, предварительно дополнив
его:
если <рх (х) — решение уравнения у" + ру' + ду = h (х), а ф2 (х) — решение уравнения у" + ру' + qy = fz{x)y то функция ... служит частным решением уравнения у" + ру' + qy — fi (х) + /2 (х).
12. Решите уравнение у" — у' = х2 + Зе
13. Найдите частное решение уравнения у"
—, удовлетворяющее начальным условиям у
4/ + = 0, у1
X=I
¦у = е* = е2
х=1.
+
14. В каком виде можно искать частные решения уравнений: 1) у" + 4У = X sin 2х + 3 cos 2х\ 2) у" + 4у' + 5у = е'х cos х?
Решение, а) Здесь а ± ?i = п = т = ... .
15. Решите уравнение у" + 4у = 4 cos 2х.
16. Решите уравнение у" — у' = 2 (х + 1) cos х, найдите частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
х=0
1
х=0.
17. Решите уравнение у" + у = 1 — хе* + cos х.
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Решите уравнения: а) у" — Зу' + 2у = ех (3 — 4х); б) 2у" +
+ 5у' = в*; в) у" + у = 6sin2 х\ г) у" — 4у' + 4у = 2 (sin 2х + _з_
д) 5у" _ бу' + 5у = еъ Х (cos jx + sin i-jcj; e) yw + 4y' = 12a:2 — -2; ж) у" + 4y' + 4y
