Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
18
3. Зная, что для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, сумма остатка после п членов по модулю не превосходит первого члена остатка (|zj ^ | ип+11), найдем погрешность, допущенную при вычислении cos 10°: .. .
л
(Г .
^ АЛ^1 С S1IT Х lK
10. Вычислите с точностью до 0,0001 интеграл J dx (~ =
= 0,52360). Решение.
1. sin X = .. .
2. EL?= .. + .. + .. + ... + .. + ... .
X
л
~б
3. [^LdX= .. .
J X
о
4. При нахождении числа членов, которые необходимо оставить, чтобы добиться требуемой точности, используем соотношения |zj ^ < U/i+il (пример 9(3)). Если взять так, что \ип+1\ < 0,0001, то и абсолютная погрешность |zj < 0,0001: .. .
0,5
С dx
11. Вычислите интеграл j ^ ^ 4 с точностью до 0,001.
Q
77
12. С помощью степенного ряда найдите решение уравнения у' = 2у + X — 1, удовлетворяющее начальному условию у 1
2 х=0
Решение.
1. Будем искать решение уравнения в виде суммы степенного ряда. Полагаем у = а0 + а±х + а2х2 + ... + апхп + где а0, а1у
ап, ... — неизвестные коэффициенты ряда. Так как у = —,
j х=0
то а0 — —.
2
2. Найдем производную от неизвестной функции и подставим у и у' в данное уравнение:
у' = O1 + 2а2х + ... + .. +
U1 + 2а2х + ... + .. + ... = (2^+1)^+2^*2+ ... + 2?%« + ....
3. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х и получим:
a) U1 = O; б) 20, = 2?+1, ^ = !^±1=1;
,2211 ч 2 22
в) а3 = — а2 = — • — = —; ... ; г) ап = — ап_, = — •-а„ 0 =
73 З2 32 3' ' 1 п п п 1 п п— 1 Л"2
2 2 2"-2
л л — 1 п\
4. Разложение неизвестной функции в степенной ряд: у=— +
+ .. X2 + .. X? + ... + .. хп + ... .
13. С помощью степенного ряда найдите решение уравнения у" =
2
= —у' + у = 0, удовлетворяющее начальным условиям у =1, у' = 0
х=0.
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Найдите интервалы сходимости следующих рядов: ~ sin —
а>2-+; б) 2 2^-
/2=1 M=I
Л -I
/1=1
2. Докажите, что ряд У . 2.я+1 правильно сходится на отрезке
Jam {I -\- X )
Cl; 2].
0О_ ^_П2*2
3. Найдите интервал правильной сходимости ряда 2—2
78
4. Найдите радиусы и интервалы сходимости степенных рядов:
(* — 1)2п
a) ^(Vn+I-Vn)X"; 6)2^7
= 1,
X=O
п=1 /1=1
ОД
5. Вычислите приближенное значение интеграла j е-*1 d*. Сколь-
о
ко членов надо взять, чтобы погрешность была меньше 0,0001?
6. Разложите подынтегральную функцию в ряд. Вычислите опре-
T
деленный интеграл J "JA + xsdx с точностью до 0,0001. о
7. С помощью степенного ряда найдите решение уравнения у' = = у + х2, удовлетворяющее начальному условию у 1=2.
U=O
8. С помощью степенного ряда найдите решение уравнения у" + + —у' + у = 0, удовлетворяющее начальным условиям у
X
у' =0
х=0.
Исследуйте сходимость полученного решения.
§ 23. РЯДЫ ФУРЬЕ I. Основные сведения из теории 1°. Закончите утверждение:
OO
Функция / (х) порождает ряд Фурье f (х) ~ — + 2 (апо.о$> пх +
п=\
+ bnsinx), где коэффициенты O09 ап, Ъп, вычисленные по формулам
я я я
#0 = — [ f (х) dx, (Xn = — [ f (х) cosnxdx, Ъп = — \ f (х) sinnxdx,
jt j jt j jt j
—я —я —я
называются.. .
2°. Сформулируйте теорему Дирихле:
Если функция / (х), имеющая период 2я, кусочно монотонна на промежутке [—я; я] и имеет на нем не более, чем конечное число точек разрыва, то ее ряд Фурье сходится к .. . (Высказанные условия называют условиями Дирихле.)
3°. Закончите утверждение:
Ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:
/ M ~ у + 2 ancosnx> гДе /1=1
я
ап= — \ f (х) cos nxdx (п = 0, 1,2, ..). jt J
79
Ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:
OO
f w ~ 2 ^s*n пх'где ^п =" •
4°. Продолжите вычисление интегралов, часто употребляемых в разложениях функций в ряд Фурье:
Я TC
С . , — COS пх л р — COS пх ,
\ X sin nxdx = X- — \ -ах = ..;
J п о J п
о о
я я
P j sin ft* \л С sin гся ,
\ X cos Агхах = х- — I-dx = .. .
J ^ Io J /г
о о
II. Примеры и упражнения
Функцию f (х) = X на промежутке [0; я] разложите по косинусам Решение.
1. График функции: .. .
2. Проверка выполнимости условий Дирихле (устно).
OO
3. Формальная запись ряда Фурье / (х) ~ — + ^ ап cos пх, где
Al=I
я
ап — —і / (х) cos nxdx (п = О, 1, 2, ..):.. .
я J о
4. Коэффициенты Фурье (по формулам п. 4°): .. .
5. Ряд Фурье, порожденный данной функцией
OO
? / \ Я 4 ^ cos (2/г — 1) ~ ^ ^
f (х) ~---> -і-О < X < я: .. .
' W 2 я (2fe — I)2
6. Вывод о сходимости ряда Фурье (по заключению теоремы Дирихле):.. .
III. Упражнения для самостоятельного решения.
Используя план решения примера, предложенный в разделе II:
1. Разложите функцию: f (х) = / °> если " < * < °-
^ х, если U ^ X ^ я
в полный ряд Фурье.
2. Функцию / (х) = |Q ft < я < я* Разложите на промежутке [0; я] по косинусам.
