Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
1. Имеем —-— .. —.
Al3+! AZ3
00 1
2. Ряд 2 ~ъ - (так как P = ••)•
3. Следовательно, данный ряд .. .
21. С помощью признака сравнения рядов с положительными чле-
22. Выясните, сходится ли ряд:
п-1 -2+1
OO
a) 2(17^3+ I-Vn*); б) 2
і
23. С помощью признака сравнения рядов с положительными чле-
^ COS2Al
нами докажите, что ряд 2d ~~^Г сходится.
24. Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряд, сходимость которого удобно исследовать с помощью метода сравнения.
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Исследуйте вопрос о сходимости рядов из множества, приведенного в примере 2.
2. Выясните, сходятся ли следующие ряды:
оо . оо
j 1 + «2» А) 2d п*—П + Ь'
п=1 п—\
§ 21. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ сходимость
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждения:
OO
1. Ряд ^un называется абсолютно сходящимся, если ..
оо
2. Ряд 2 ип называется условно сходящимся, если .. .
OO OO
3. В отношении сходимости между рядами 2 ип и 2 W сущест-
вует следующая зависимость: если ряд .. сходится, то ряд .. .
2°. Сформулируйте теорему Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда.
II. Примеры и упражнения
1. Докажите, что ряд ^ cos— абсолютно сходится. Доказательство. Здесь ип =—— cos—, \ип\= .. .
„2 „її
П
2. Выясните: 1) сходится ли абсолютно ряд 2 (—1)я Tp»
2) сходится ли этот ряд.
3. Из множества нижеприведенных рядов выберите:
1) абсолютно сходящийся ряд;
2) условно сходящийся ряд:
оо OO оо v OO
74
OO OO OO
*>2^ет-; е)2<-'>"»Ф *21-гъ'-?:
п=\ п=\ п=\
оо П—1 °°
/1=1 П=\
4. Выясните: 1) сходится ли абсолютно знакочередующийся ряд
OO j
2(_1)/г+1
2) сходится ли этот ряд.
5. Установите: 1) сходится ли абсолютно знакочередующийся ряд
у (-!)"»¦ 1п2/г '
2) сходится ли этот ряд.
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Двумя способами (с помощью теоремы Лейбница и без нее)
докажите сходимость ряда > ——-—.
^п(п + 1)
2. Какие из рядов во множестве, приведенном в примере 3: 1) сходятся абсолютно; 2) сходятся условно?
§ 22. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ I. Основные сведения из теории
1°. Закончите следующие определения:
1. Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд U1 (х) + U2 (х) + ... + Un (х) + ... (1) сходится, называется.. .
2. Функциональный ряд (1) называется мажорируемым на некотором множестве X CZ R, если существует такой сходящийся числовой ряд (X1 + (X2 + ... + <хл + что для всех х ? X выполняются неравенства: U1WI^a1; \ U2(X)Im2; ...; 1..1..?; .. .
3. Ряд (1) называется правильно сходящимся на множестве X с= /?, если .. .
OO
4. Интервалом сходимости степенного ряда ^an (х — х0)п (2) называется .. .
5. Радиусом сходимости степенного ряда (2) называется .. . 2°. Закончите утверждение:
Если ряд сходится:
а) на всей числовой оси, то радиус сходимости R = ..;
б) только в точке X0, то радиус сходимости R = ... 3°. Ответьте на вопросы:
75
1. Что можно сказать о сходимости ряда на концах интервала сходимости?
2. Что вам известно о правильной сходимости степенного ряда? 4°. Укажите суммы нижеприведенных степенных рядов и радиусы
их сходимости:
1) - + " + Я = + °о;
2)1-^ + ^-.-.+ .. + .» - ...а--;
5) 1+^+И}Х~1)2*+ ... + .. + ... = .., .
II. Примеры и упражнения
1. Найдите все точки х Є Я, в которых ряд У ТГГ^я сходится. Решение.
00 1
1. При любом X ф —2 ряд 2 (*4-2)Л — геометРическая прогрессия
со знаменателем g = .. .
2. Исследуемый ряд сходится.. .
2. В каких точках сходится ряд V — ?
^ Al*
п=1
Решение.
1. При X < 0 ип (х) = -^- .. 1. Ряд.. .
л*
2. При 0 <х < 1 .. . Ряд.. .
3. При X > 1 .. . Ряд.. .
3. Найдите промежутки, на которых правильно сходятся нижеприведенные ряды:
00 si п X 00 1
а) 2 ••;б) 2 т^г
- :(гг+*)'
4. Найдите радиус и интервал сходимости ряда ^ (хо = 0)
Решение.
1. Находим 1іт|Ця+і(лс)І= .. =
tt + oo I Un {X) I П-+°о \Un(x)\
Xй
п=1J
76
3. Интервал сходимости ряда .. .
5. Выясните, сходится ли ряд из примера 4 на концах интервала сходимости.
6. Найдите интервал сходимости степенного ряда ^ (-!)«(*+1)» _
7. Разложите в степенные ряды следующие функции: а) е2х\ б) sin Зх; в) In (1 — Ъх) — и определите радиусы сходимости этих степенных рядов.
Решение.
1. В приведенных в 4° разложениях функций еУ, sin у, In (1 + у) положим соответственно у = 2х, у = .., у = .. .
2. Получаем:
а) е2х = .., R = ..; б) sin Зх = .., Я = ..; в) In (1 — 5*) = .., Я = .. .
8. Разложите в степенные ряды следующие нижеприведенные функции, указав радиусы сходимости полученных рядов:
a) xcosx; б) егх— 1; в) tg х cos2 х\ г) sin2 х.
9. Вычислите приближенное значение cos 10°, взяв два члена разложения функции cos X в степенной ряд.
Решение.
1. Радианная мера угла в 1° равна — ~ .. .
2. cos 10° = cos - = .. « .. + .. + .. + .. « .. = .. .
