Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Е{[?-ф(Х)][?-ф(Х)И, (8.2.21)
определяется равенством
Ф (X) = ру+ЯухЪЯс (X-^). (8.2.22)
Минимальное значение (8.2.21) равно (8.2.16).
Для нормально распределенных величин условным распределением Y при заданном X будет
Niifiy + ZyjPtx (X-Iix), SKK~SyxS^SXK), (8.2.23)
так что частная корреляция Yj с Yk оказывается условной корреляцией Yj с Yk при заданном X.
Перейдем к некоторым деталям оценки параметров в сформулированных теоремах. Допустим, что мы располагаем выборкой
К].
(8.2.24)
/= 1, ..., п, из значений величины, для которой выполнены условия теоремы 8.2.1. Для удобства будем полагать, что Jix = O и fay=0. Введем гхя-матрицу х и sxn-матрицу у:
X = [X1.....XJ, (8.2.25)
у = [Y1, .... YJ. (8.2.26)
Можно оценить ковариационную матрицу (8.2.12), взяв
»1 xxе
-и= —
Ъху=^, (8.2.27)
и
у _ УУТ . *уг—T-
Коэффициент регрессии Y на X можно оценить матрицей
& = 1УХ±-Х\, (8.2.28)
а в качестве оценки матрицы (8.2.20) предложим See= («-0-1Y[I-XMxX^)-1X] у* =
= (n-r)-*n (±Yy-$YX±xxtXY), (8.2.29)
причина замены множителя п 1 на (п —г)"1 в этой оценке становится ясной при рассмотрении следующей теоремы.
Теорема 8.2.3. Предположим, что (8.2.24), /, ...,я, образует выборку из многомерного нормального распределения со средним О и ковариационной матрицей (8.2.12). Пусть а определяется формулой (8.2.28), а Нег —формулой (8.2.29). Тогда каков бы ни был rs-мерный вектор а, величина
ат (vec [a —а])
(8.2.30)
[a* {See® (хх*)-і}а]1/2 распределена так же, как tn_r. Кроме того, Ea = а,
covjveca, veca} = (/z — г — I)"1 S88®2?, (8.2.31)
и при п —* оо оценка а будет асимптотически нормальной величиной, имеющей такие моменты. Матрица S88 не зависит от а и распределена по закону (я —г)-1H^ (/г— г, S88). При s= 1 величина R$x^^yxH^x%xy№yy имеет плотность распределения
/1 Г)2 \П/2р (П П /• . Г)2 П2 \ Г (П12)
(\-RYxh [Y > у > Y ' KxyKyx ) г ([я_г,/2) г (г/2)
X (йуХу-2(1 -R\xyn-r~*)i\ (8.2.32)
Появляющаяся в (8.2.32) функция—это обобщенная гипер-гёометрическая функция, см. Abramowitz, Stegun (1964). Процентные точки и моменты Ryx приведены в работах: Amos, Коор-mans (1962), Ezekiel, Fox (1959) и Kramer (1963). Olkin, Pratt (1958) построили несмещенную оценку для Ryx- Распределения других статистик можно определить, пользуясь тем, что случайная матрица
1НуХНуу J
«-"r«(«. [??])•¦ (8-233)
имеет распределение
Распределение для а приводит Kshirsagar (1961). Плотность этого распределения пропорциональна
{Det[2A + (a-ar S8V (а-а)]} -<«+*>/.. (8.2.34)
Такое распределение является разновидностью многомерного /-распределения, см. Dickey (1967).
Подобно тому как определялись частные корреляции, можно построить их оценки, основанные на элементах S88. Например, оценка частной корреляции величин Yj и Yk при отсутствии линейных изменений X имеет вид
{[28Є]уу [2евЫ
1/2
(8.2.35)
где [2ее]у? обозначает элемент матрицы S88, стоящий на пересечении /-й строки и &-го столбца.
Эта оценка, как видно из распределения для S88, указанного в теореме 8.2.3, распределена как выборочный коэффициент корреляции Єу с 8fc, основанный на п — г наблюдениях. Функция плотности распределения квадрата этой величины определяется выражением (8.2.32), если заменить в нем R2YX> Ryx> п и г соответственно на Ry., YyXy Ry-, уьх, n — r, 1. Большая выборочная
дисперсия такого R% приблизительно равняется 4/?2[1—R2]/n. Найденные в работе Fisher (1962) распределения коэффициентов корреляции можно так модифицировать, чтобы получить совместное распределение всех частных корреляций. Асимптотику совместных ковариации можно получить, опираясь на результаты работ Pearson, Filon (1898), Hall (1927) и Hsu (1949). Дальнейшие результаты, а также приближения для законов распределения оценок квадратов коэффициентов корреляции содержатся в работах: Kendall, Stuart (1961), стр. 341, Gajjar (1967), Hodgson (1968), Alexander, Vok (1963), Giri (1965) и Gurland (1966).
Рассмотренные выше теоремы имеют аналоги для комплексных случайных векторов. Например, справедлива
Теорема 8.2.4. Пусть комплексный (г' + s)-мерный вектор
(8.2.36)
со средним О таков, что (
"XXх
XYX"
I
^xx
^xy
Y Xх
YYX.
Г
x
SKK_
Е1
XX* YXT
XYT YYT
'}-
0.
(8.2.37) (8.2.38)
Если матрица Hxx невырожденна, то и и а, минимизирующие
E{[Y-n-aX][Y-n-aX]T}, (8.2.39)
таковы:
а само минимальное значение равно
2КР — 2кх2хХ2хк. (8.2.41)
Назовем а, определенный формулой (8.2.40), комплексным коэффициентом регрессии Y на X. Указанные \i и а будут доставлять минимум, следовательно, и детерминанту, и следу, и диагональным элементам матрицы (8.2.39). При S=I выражение для минимума (8.2.41) можно записать в виде
[l-\Ryx\2]Zyy, (8.2.42)
где по определению
1Яух]2 = Зшфж. * (8,2.43)
Эта величина, очевидно, представляет собой обобщение на комплексный случай квадрата коэффициента множественной ,корреляции. Поскольку минимум (8.2.41) должен лежать между HYY и 0, то, значит, 0^|/?ух|2^ 1, причем значение 1 соответствует минимуму, равному 0. В ряде случаев удобно расщепить \Ryx\2> рассматривая порознь
