Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
7.10.27. Покажите, что матрица (X)] оценок (7.7.9) неотрицательно определена, если таковой же является матрица [Її7б&(а)], — оо < а < оо, в случае ha(u) = h (и) для a= Ix г.
7.10.28. Покажите, что в условиях теоремы 7.3.2 оценка ffi (X) является состоятельной, если fab (X) = O или fbb (X) = O.
7.10.29. Покажите, что в условиях теоремы 7.3.3 ]/У (сх } — с*) и f(/x (0) являются асимптотически независимыми величинами с распределениями Nr (0, 2nfxx(0)) и (2m)~1Wr(2mi fxx (0)) соответственно. Покажите также, что величина Э2/г, где
32 = (2я)-іГ (c^>-cx)Tf^.(0)-i (с$>-сх),
имеет асимптотическое Fr, 2w-распределение. Этот результат можно использовать при построении приближенных доверительных областей для сх-
7.10.30. Покажите, что в условиях теоремы 7.4.3 нужно выбирать Bf =0(71"175), чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку E I fJb (X) — — fab{X)\2\ см. Barttett (1966, стр. 316).
7.10.31. Докажите, что R^(X) и Rc^(X) в условиях теоремы 7.6.2 асимптотически независимы, если Rab, Rac, Rad, Rbct Rbd, Rcd равны нулю.
7.10.32. Покажите, что в случ~ае ряда X (t), t = 0, ±1, ...,не обязательно гауссовского, ковариация (7.6.21) равна
Лі Xt
2л ^ J faibxa2b2 (а, —а, — (3) da d$.
7.10.33. В случае стационарного, действительного гауссовского ряда X (t),
t = 0, ± 1, докажите, что ковариационная структура предельного, процесса
в теореме 7.6.3 такая же, как и
X
Yto\lxx(*)*B («). о
где В (а) есть броуновское движение на [0, л].
7.10.34. Если ряд X (/), / = 0, ± 1, является действительным белым шумом с дисперсией а2 и четвертым семиинвариантом н4, то предельный процесс теоремы 7.6.3 имеет ковариационную функцию
(2Ji)-1q4 min (X, u.)+ (2jt)-2x4fyi.
7.10.35. Покажите, что для линейного действительного ряда X(t), ? = 0, ±1, в условиях теоремы 7.6.3
' T^[FTx (X) Fxx(n)-Fxx(X) Fxx (л)]
слабо сходится к гауссовскому процессу, у которого ковариационная функция не содержит спектра четвертого порядка ряда X (Z).
7.10.36. Пусть X(Z), Z = O, ±1, является r-мерным рядом,- удовлетворяющим условию 2.6.1. Покажите, что efy (и), задаваемая формулой (7.6.10),
и CaP ("), задаваемая формулой (7.6.12), имеют одинаковое предельное нормальное распределение. См. также упр. 4.8.37.
7.10.37. Пусть
1>=1
где
/2? (К і)
= (2ЛК)-1 ( 2 Ха (v+ lV>> ехР {- iXv4 ( X Xb (У + lV) ехр ^ / = 0, ...,L—-1; a,b — \, ...,г. В условиях теоремы 7.6.1 покажите, что
ГВЛЯ]
2я
J(ab (Л. /), / = 0, L—1, являются асимптотически независимыми нормаль-
ными величинами со средним J Л (а) (a) da при V—> оо. Этот результат
о
можно использовать для построения приближенных доверительных интервалов Jab (А).
7.10.38. Пользуясь замечанием в § 7.9, докажите следующее тождество: /=1 *=l Jtt 1 /=1 k=l ' /л J
/=i'
7.10.39. Положим
d0Ta)= T% Xa(t)exp{-iXt}
?=0
/<Р (Х) = (2лТаТь)-1 4Г«> (X) <%ъ> (X)
для —оо < X < со; а, 6=1, v.., г. Покажите, что матрица (Х)=[/^(Х)] неотрицательно определена.
7.10.40. Пусть ряд X (t), Z = O, ±1, удовлетворяет условию 2.6.2(/). Покажите, что выполняется соотношение (7.2.14) с равномерными по г, s^O (mod T) остаточными членами 0(Г~Х), 0(Г~2).
7.10.41. Используя результаты предыдущего упражнения, покажите, что в условиях теоремы 7.4.3
+S (^+?-s) ^ (^) /м, (- щ
7.10.42. Пусть ряд X (/), Z = 0, ± 1, ...,-удовлетворяет условию 2.6.2(/). Допустим, что А (а) имеет ограниченную вариацию. Пусть W (а) удовлетворяет условию 6.4.1. Положим Py = P—> со при PTBT*skl и РтВтТ—> оо при T —> оо. Тогда
Покажите, что (Л) асимптотически нормальна,
2я
E^M)= J ^(a)/a6(a)da+0(Br)+0(Pf1)+0(fif1r-i)
p2Jt
2jt 2jt
Py BjT
2Jt
IT (a)» da j j Л/ (a) Ak (a) ffll<z, (a) /Ml (- a) da
2Jt -1
+ J Aj (a) Л*(2я —a)faib% (a) fotaa (- a) da
2n 2Я
+TT J J i4y (a) IT(P)/плел («. -P)da<ip.
о 0
Указание. Воспользуйтесь предыдущим упражнением.
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ ВО ВРЕМЕНИ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОГОМЕРНЫМИ СТОХАСТИЧЕСКИМИ РЯДАМИ
8.1. Введение
Рассмотрим (г + 5)-мерный векторный стационарный ряд
t = 0, ± 1, . •составленный из r-мерного ряда X(t) и s-мерного ряда Y(^). Предположим, что ряд (8.1.1) удовлетворяет условию 2.6.1, и введем средние
EX (t) = Cv,
вт и-.; <si-2>
ковариации
E {[X (t + u)- Cx] [X (0 -с= схх (и), E {[X (t + и) - сх] [Y (0 - су]*\ = схг (и), (8.1.3) E{[V(t + u)-Cy][Y(t)-cYY} = cYy(u), м-0, ±1.....
и спектральные плотности второго порядка
QO
txx(k) = (2n)-1 2 с„ (и) ехр {—Ou},
W= - OO
oo
(Я) = (2я)-» 2 сук (и) ехр {— іЩ, (8.1.4)
W= -00
00
іyy(1) =(2п)-% 2 скк(и)ехр {— іХи\, — оо<А,<оо.
& = - 00
Задача, которой посвящена эта глава, состоит в выборе такого s-мерного вектора |ш и такого sxr-фильтра {а (а)}, чтобьГряд
S а (/-и) X (и) (8.1.5)
W= - 00
был в некотором смысле близок к Y(Z). Мы изучим также статистические свойства оценок искомых |ш и а (и), основанных на
