Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
[Re ад Sxx [Re ЪХу] (8.2.44)
1>уу *
и
[ImSrx] Sx1X[Im SxH . (8.2.45)
Zyy '
здесь 2rx= Re Hyx + і Im HYX. Эти выражения служат мерами линейной связи Y с ReX и ImX соответственно.
Вернемся теперь к случаю векторного Y. Явной мерой степени аппроксимации Y линейной функцией от X служит величина ошибки
E=Y-IXy-HyxHx1X (X-Iix), (8.2.46)
имеющей среднее 0 и такой, что Еєет = 2е8
= Нуу— 2гх2хх2Х1г (8.2.47)
и
E (88^ = 0. ^ (8.2.48)
Аналоги частной ковариации и частной корреляции можно немедленно получить, используя матрицу (8.2.47).
Предположим теперь, что в нашем распоряжении имеется выборка
(8.2.49)
значений вектора, удовлетворяющего условиям теоремы 8.2.4. Определим матрицы х и у формулами (8.2.25) и (8.2.26). Естественно рассмотреть статистики
2 = ЛХ _ /_
хх п п
у _ УУ
ху__; j_
Sx,= = , (8.2.50)
? = tYX±fx, _ _ (8.2.51)
See = (л - r) -1Y [I - (ххЧ -1 х] у* =
= (n^r)-Jn(2rF-Sr^lxSXK). (8.2.52)
Для них справедлива
Теорема 8.2.5. Пусть величины (8.2.49), / = 1, ...,п, обра-зуют выборку из многомерного комплексного нормального распределения со средним 0 и ковариационной матрицей (8.2.37).
Если а определяется формулой (8.2.51), а S88- формулой (8.2.52), то для любого гs-мерного вектора а величина
ат (vec [a-a])
распределена как (,.-,¦>• Кроме того, Ea = а,
cov {veca, veca} = (n~r)-12ee®Sx1x, (8.2.54)
м n—>оо величина veca распределена асимптотически как ^s (vec a, JZ-1S88® Ехх)- Далее, матрица S88 зависит от а к распределена по закону (л — г)"1 ^ (л — г, S88). Наконец, если s=l, mo величина I /?кх 1*.= SKXSxXSxr/2 кг имеет плотность распределения
хГ(я-0Г(г)1^1-Г~><1-| ^х!2)"-^ (8-2.55)
Отметим, что распределение |/?гх12 в комплексном случае совпадает с распределением в действительном случае при вдвое большем объеме выборки и одновременном увеличении размерности X вдвое. Объяснение этому обстоятельству предлагает* эвристический подход, описанный в § 8.4. Полезное же следствие заключается в том, что можно будет применять таблицы и результаты, полученные для действительных величин. Плотность (8.2.55) приводится в работе Goodman (1963); см. также James (1964), формула (112), и Khatri (1965а). При \RYX\* = 0 выражение (8.2.55) превращается в
г (Я-!?Г(,)1^Г-80-1 Ьух\*У-"г (8-2-56)
и совпадает с «нулевым» распределением величины (6.2.10), выведенным при условии, что ряд X фиксирован. Поэтому процентные точки в этом случае можно получить из процентных точек F-закона, как в гл. 6. Amos, Koopmans (1962) и Groves, Hannan (1968) нашли много «ненулевых» процентных точек для \RYX\2.
Доверительные области для элементов матрицы а можно построить по выражению (8.2.53), действуя как в § 6.2.
По аналогии с (8.2.34) плотность распределения матрицы а будет пропорциональна
{Det [Li1x + (а-а№ (а-а)]}-<»+*>. (8.2.57)
Wahba (1966) нашел эту плотность в случае s=l.
Иногда представляет интерес рассмотрение следующих комплексных аналогов частных корреляций:
Ry r ух =-1?*-- (8.2.58)
} k {[see ]п [S88 ы1/3 1 '
при I^ \Ф k ^s. Естественной оценкой для (8.2.58) служит
RY ух = „ [^е]/* . : (8.2.59) J k {[S88I77[SeSb}1/2
Распределение для S88, приведенное в теореме 8.2.5, показывает, что последняя оценка распределена одинаково с- комплексным выборочным коэффициентом корреляции величин Bj и гкУ основанным на п — г наблюдениях. Квадрат модуля этой оценки имеет плотность распределения (8.2.55), в которой RYXy RYX, n, г заменяются на RY., Y Xi Ryj, yb-x>n — ry 1 соответственно. Асимп-
тотические ковариации пар этих оценок можно вывести из выражения (7.6.16).
8.3. Определение оптимального линейного фильтра
317
8.3. Определение оптимального линейного фильтра
Применяя обозначения §8.1, вернемся к задаче построения s-мерного вектора \х и sxr-фильтра {а (а)}, которые обеспечивают близость
oo
I*+ "2- a(f —и)Х(и) (8.3.1)
- со
к Y(^). Выбрав в качестве меры близости рядов эрмитову sxs-матрицу
E {[Y (0-w-2a (*-u)X(u)][Y (*)-|i-2a (t-u)X(u)]x},
(8.3.2)
получаем такое решение:
Теорема 8.3.1. Пусть г + s-компонентный векторный ряд (8.1.1) является стационарным второго порядка и имеет среднее (8.1.2) и автоковариационную функцию (8.1.3). Предположим еще, что схх(и), Суу(и) абсолютно суммируемы, а матрица ixx(X), определенная в (8.1.4), невырожденна при — оо < X < оо. Тогда минимизирующие (8.3.2) величины jm и ъ(и) имеют вид
P = с у— ^2 а (и)^ Cx=Су—А (0) сх (8.3.3)
и
а (и) = (2Я)-1 J А (а) ехр {iua} da, (8.3.4) о
где
A(X) = fYX(X)fxx(X)-\ (8.3.5)
Фильтр {а (и)} — абсолютно суммируемый. Минимальное значение (8.3.2) равно
S [tyr(«) - fи (0O fxx(а)_1 W (<*)] (8-3.6)
О
Функция А (X), заданная выражением (8.3.5), является передаточной функцией того sxr-фильтра, для которого достигается, указанный минимум. Назовем A(X) комплексным коэффициент том регрессии Y (t) на X(t) на частоте X.
Векторный s-компонентный ряд
