Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
.05
И Вроцлав
.83
.90
.74
.74
.59
.80
.77
.36
.04
.72
12 Вильнюс
.59
.68
.64
.50
.63
.58
.54
.20
.01
.40
.68
13 Трондхейм
.30
.52
.69
.31
.80
.25
.48
.50
.17
.23
.40
.43
14 Гринвич
.57
.71
.67
.53
.49
.47
.86
.72
.17
.78
.59
.32 '
.41
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
диаграммы соответствует квадрату корреляции с нулевым запаздыванием. Как видно, в каждом случае графики расположены около констант и колеблются вблизи горизонтальных прямых. Последнее наводит на мысль о мгновенной зависимости рядов, поскольку, если саЬ(и) = 0 для иф§, то 1(Л,) (2= = I саъ (0) |2/| саа (0) сьь (0) I для — оо < К < оо. Небольшая корреляция соответствует, как нетрудно видеть, Де-Билту, следом за ним идет Базель. Наименьшая корреляция соответствует Нью-Хейвену (Коннектикут), расположенному на противоположной стороне Атлантики.
На рис. 9.6.1 изображен график десятичного логарифма оценки спектра мощности, вычисленной по формуле (7.3.2)v с т=25. Эти кривые более изменчивы, чем можно было ожидать из выборочной теории, развитой в этой главе.
7.9. Изучение рядов, встречающихся в планировании эксперимента
В некоторых случаях индекс а = 1, г г-мерного векторного ряда X(t) = [Xa(t)], f=0, ±1, может иметь .собственную структуру, как это бывает в случае рядов, встречающихся в планировании эксперимента. Рассмотрим, например, случай
сбалансированной однофакторной классификации, где К рядов распределяются по J классам. Здесь, по-видимому, уместно ввести обозначение Xjk, t = 0, ± 1, ...; k=l, ..., К\ j = 1, ..., J и г = JK для ряда, который может возникнуть, если образовать J групп реализаций и выбрать К реализаций в каждой группе. Если нас интересует однородность реализаций, то можно, обозначив положение от начала, выбранного для всего набора реализаций, буквой /, рассматривать значения k-и реализации из /-й группы как процесс XJk(t) положения t. Модель, которая может оказаться подходящей для этого случая, зададим следующим образом:
где \i — константа; ряд а(/), / = 0, ±1, является стацио-
нарным РЯДОМ С НулеВЫМ СреДНИМ И СПеКТрОМ МОЩНОСТИ /аа(Х);
Р;.(/), / = 0, ±1, /=1, J,—также стационарные ряды с нулевыми средними и спектрами мощности /рр (X), —оо < X <оо; наконец, Bjb(t) являются для f = 0, ±1, k=l, К\
/ = 1, / стационарными рядами, каждый из которых имеет нулевое среднее и спектр мощности /ее(А,), —оо<А,<оо. Параметр \х соответствует среднему значению всех реализаций. Ряд a(t), t = Q, ±1, •.•, является общим для всех реализаций, а ряды Ру(/), t = 0, ±1, отвечают эффектам /-й группы, если такие индивидуальные эффекты существуют. Они . являются общими для всех реализаций j-й группы. Ряды &jk(t)y t = 0, ±1, представляют собой ряды ошибок. Пользуясь терминологией, принятой для моделей со случайными эффектами в планировании эксперимента [Scheffe (1959)], мы назовем /аа(Х), /00 /ее M компонентами спектра мощности частоты X. Спектр /рр (X) может быть назван межгрупповым спектром мощности частоты X, а /ее (X) — внутриерупповым спектром мощности частоты X.
Используя введенные предположения, заметим, что EX/k (t) = \it t = 0, 4=1, а спектр мощности и кросс-спектр задаются выражениями
Как нетрудно видеть, когерентностью между рядами, соответствующими реализациям, выбранным из одной группы, будет служить величина
X/k (t) = ц + a (O + р,. (О+ VO.
(7.9.1)
fx/k. x-jk, (Я.) =/«а (А.)+ /эр (А,), если кфк,',
fx.k, xn, (Я) = faa (Ц, ЄСЛИ / ф }', k Ф k'.
(7.9.2) (7.9.3) (7.9.4)
/ас (X) + /рр (X)
(7.9.5)
/оа (А) + /№ W + /ее (Я)'
Ее можно назвать когерентностью между классами частоты Я. Когерентность между рядами, соответствующими реализациям, выбранным из разных групп, как нетрудно видеть, равна
- U(MUM+fwW+/ее№ '
Иногда может быть интересным вопрос о том, в какой мере связаны реализаций из одной группы по частоте Ji. Одним примером такой меры может служить когерентность (7.9.5). В экстремальном случае, когда a (t) и (/) тождественно равны нулю, эта мера равна нулю. Другой крайний случай, когда EJk(t)=0, дает для этой меры значение 1. Обратимся к задаче оценивания
U О), Ы*) и /ее(*.).
Мы видим, что модель (7.9.1) приводит к соотношению
dtp (X) = цД(Г> (X) +<#•> (X) + diT) (X) (К), (7.9.6)
JK J JR
где для — оо < А, < оо
(X) = S1 ХУЛ (O ехр {- ІЩ, (7.9.7)
Jk /=О
а величины d^r>, d(P определяются аналогично. Как следует из теоремы 4.4.2, величины d^ (1K) асимптотически распределены как (0, 2nTfaa(k))9 величины d^(k)9 j= I9 ..., /, асимптотически независимы и распределены как Nf (0, 2яТ/рр (А,)) при ХфО(modя); наконец, величины d^T) (Ji), k=\\ ..., К\
J = I, ..., J9 асимптотически независимы для Ji щк О (mod я) и имеют предельные распределения Nf(O, 2я7/ее (Ji)). Таким образом, модель (7.9.6) можно приближенно считать моделью случайных эффектов в дисперсионном анализе при сбалансированной однофакторной классификации; см. Scheffe (1959). Это приводит нас к вычислению статистики