Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
[^XX ^XY ^YX ^YY
(8.5.1*0)
распределена по закону (2т+ I)-1W7F+S (2т +11 iZz(ty) пРи X^Q (modjt) и по закону (2т)^^г+5(2т, iZzW) пРи X = O (modл). Тогда A<r> (X)-A(X), g8P(X) сходятся по распределению /с WУх^х\ uWee = С (m,r) (W YY — ^ Yx^ X1X^Xy) соответственно. Кроме того, Ry%x(X) сходится к W^J[WWгьг^\ U *=1. -'..,S1 и при s= \ величина \ RyX(X)\* сходится к WyxWx^V/xyIWyy-
Плотность предельного распределения для A<r> (X) можно вывести из (8.2.57) и (8.2.34). Она приведена в работе Wahba (1966) для случая s=l, X^O (modл). Более полезен результат, основанный на следующем наблюдении: для любого ^-мерного вектора ос
4vec[A<r) (X)-A (X)])_ (8.5.11)
[(2m+ ат (gg\X) ® ЇІИХ)-1) а]1/
имеет предельное распределение /SWu-n в случае ХфО (mod л). Аналогичные результаты справедливы в случае Я = 0 (modя).
Из упр. 4.8.8 вытекает, что при условиях теоремы 8.5.1 величина geP (X) асимптотически имее* распределение (2т+ 1 — г) xW% (2т + \ — г, fee (?)), если X^0(modn), и распределение (2т—г)"1 W3 (2т—г, fEE (X)), если А, = 0 (mod л). Она также асимптотически не зависит от А^Т)(Х). Отметим, что, согласно теореме 7.3.3, асимптотическое распределение gIP (X) аналогично по своей сути асимптотическому распределению спектральной оценки, основанной непосредственно на значениях е(/), t = 0, T-1, только в нашем случае надо параметр 2т заменить на 2т— г.
Частные когерентности Ryj^x (X), a, b= 1, ..., s, получаются
непосредственно по матрице ^iV(X). Из предыдущих замечаний мы делаем вывод, что при условиях теоремы 8.5.1 их асимптотическое распределение то же самое, что и для безусловных когерентностей, если заменить параметр 2т на 2т —г. Для векторных нормальных величин этот результат отметил Fisher (1928). Распределение для одного R^y ь-х (X) дается формулами (8.2.32) и (8.2.55) при г=1.
Обратившись к асимптотическому разложению коэффициента множественной когерентности в случае s=l, полагаем \RYx\2 = \Кух№)\2ЛКух\2 = \КухЩ\2- Тогда предельное распределение
величины \Ryx(X)\2 будет определяться формулой (8.2.32), где
и (8.2.55), где Ai = 2m+1, если
п = 2т, если X see 0 (mod я), ХфО (mod я).
Указанное выше предельное распределение для когерентностей обнаружил Goodman (1963); см. также Goodman (1965), Khatri (1965), Groves, Hannan (1968). Enochson, Goodman (1965) исследовали точность приближения распределения величины arth | Ryx (^) I нормальным распределением со средним
arth 1 Яге (Ц|+ ,„„,^1-,, (8.5.12)
и дисперсией 1/[2(2т-жение.
2(2т+1—г) ¦г)]. По-видимому, это неплохое прибли-
8.6. Класс состоятельных оценок
В этом параграфе мы построим общий класс оценок параметров, введенных в § 8.3. Предположим известными значения
[X(Ol
(8.6.1)
/ = 0, .... 7-1. Введем dlP (X), U^(X), — oo<Jv<oo, гласно (8.4.2). Определим матрицу кросс-периодограмм
со-
1Й.
(X) = (2ЛТ)-1 йхп(Х) W* (Я)т, (8.6.2)
— оо < Jt < оо, аналогично определяется и 1? (X), \уу (X). Пусть W (ос) — весовая функция, удовлетворяющая условию 5.4.1. Оценим матрицу спектра второго порядка
f
XX (^)
frx(X)
ЇХУ(Х) try М.
(8.6.3)
посредством
iTx (X) Ї(Л (X)
і(1НХ) Wy(X)]
t- 1
S=I
л 2ns \
'Wx (—^
i(t) Yyy
(8.6.4)
V T j іух [-Y-)
приняв во внимание эвристическую оценку (8.4.5); A(A,) оценим величиной
№(?)!
ы
А<г> (Jv) =
(8.6.5)
В общем случае элементы Aab (X) матрицы A (X) будут комплексными. Иногда могут представлять интерес не сами элементы, а их мбдули Gab(X) и аргументы ФаЬ(Х). Основываясь на указанной оценке, возьмем
Ф$ W = arg A^(X) (8.6.6)
и
G$ (Х) = \А%(Х)\
(8.6.7)
при а=1, s и Ь=1, .... г. Оценим матрицу (А,)-спектральной плотности ошибки величиной
(X)=f й) (я.) -Н% (Я) f (X)-I f ^ (X),
а частную когерентность #(yV6-x(^J °Ценим величиной
W)1
Я(Г) (Я.)
' о' 6
(8.6.8)
(.8.6.9)
При s = 1 оцениваем | (X) ^ — множественную Y (t) с X (t) — посредством
/(# (Я)
когерентность
(8.6.10)
— оо < Я < оо. Различные оценки оказываются выборочными аналогами соответствующих величин, подлежащих оценке.
Относительно асимптотических моментов первого порядка для различных статистик справедлива
Теорема 8.6.1. Пусть (г + ъ)-мерный ряд (8.6.1) удовлетворяет условию 2.6.2 (1) и имеет матрицу спектральной плотности (8.6.3). Предположим, что матрица \ХХ(Х) невырожденна. Пусть W (а) удовлетворяет условию 5.6.1, и пусть статистики \т(Х), ФаР (Я), G^(X), geV(X), ,x(k) определяются формулами
(8.6.5)-(8.6.9). Тогда если ВТ-+0, B7T -> оо при Т->оо, то ЁАт (X) =
= { J W^(X-o) k(a)\xx(a)da + 0(Bt1T-*),
WiT) (X-
0O hx(v)da
(8.6.11)
Еф<?> (X) = arg {ЕА$> (X)}+0 (Bt1T-*), (8.6.12) EG?> (X) = І ЕЛ<?> (Я) I + О (5?^-1) (8.6.13)
U
Egg* (?) = J Wm (Я-a) fKK (а)da— {J (Я-a) fyx(a)dd} X {S №ш (Я—a) f„ (a) da} ~* [w™ (Я-a) f*K(a) da) + 0(Bf1T-1). (8.6.14)
я/ее s = 1, a fYY (Я) Ф О, то
E I #<Л (X) P=(S №(П (Я- a) lYX(a)da) (J У™ (Я —a) f„ (a)da}'1 X { J №(П (Я - a) fXY (a) da)\\w(T) (Я—a) fYY (a) da + 6(Br1F"1)- (8.6.15)
