Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
l\Fl' "-Fi (3.8.2)
д (Уъ ...> Ут) V '
отличен от нуля в точке (U1, ..., ит\ V1, ..., Vn), то уравнения
Fj{yi> •••> Ут'> *i> •••> zn) = °y / = 1, т, (3.8.3)
имеют единственное решение yJ = yJ(z1, ..., zn), /=1, ..., m, которое голоморфно в окрестности точки (V1, Vn).
Эта теорема содержится в книге Bochner, Martin (1948, стр. 39). Из нее, например, вытекает, что нули полинома являются голоморфными функциями от коэффициентов полинома в области, где полином имеет различные корни. Из этого в свою очередь следует, что собственные значения матрицы являются голоморфными функциями от ее элементов в области различных собственных значений, см. упр. 3.10.19.
Обозначим символом V+(I), 1^0, пространство функций z(к), —оо<Х<оо, преобразование Фурье которых имеет вид
qo
z (X) = S а (и) ехр {— іиЦ, (3.8.4)
м=0
где а (и) принимает действительные значения и удовлетворяет условию
І[1 + Н']|а(и)|<оо. (3.8.5)
м=0
При выполнении условия (3.8.5) область определения z (X) может быть расширена до множества комплексных X, таких, что — оо < <Rel<oo, ImX^O. Тогда справедлива
Теорема 3.8.2. Если функции Zj (X) принадлежат классу V+ (I), j = 1, ..., п, и f (Z1, ..., Zn)—голоморфная функция в области значений {Z1(X), Zn(X)}; —oo<ReA<oo, ImX^0, то !(Z1(X), ..., Zn(X)) также принадлежит V+ (/).
Эту теорему можно вывести из результатов Гельфанда и др. (I960). Первые теоремы такого типа получили Wiener (1933) и Levy (1933).
Приведем пример использования последней теоремы. Пусть {а(а)}, и = 0, 1, 2, является реализуемым /-суммируемым г X r-фильтром .с передаточной функцией А (Я), такой, что Det A (X) Ф 0, — оо < Re X < оо, Im X > 0. Из последнего условия
вытекает, что элементы матрицы А"1 (X) суть голоморфные функции от элементов матрицы A (X) в окрестности области значений А(Х)\ см. упр. 3.10.37. Применение теоремы 3.8.2 показывает, что элементы матрицы B(X) = A(X,)"1 входят в V+(Z) и, следовательно, В (X) оказывается передаточной функцией реализуемого /-суммируемого г X r-фильтра {Ъ(и)\, и = 0, 1, 2, .... В частности, если Х(/), ? = 0, ±1, — стационарный /--компонентный ряд с E IX (/) I < оо, то соотношение
со
Y(O = 2 а (и) X (t — u) (3.8.6)
W=O
можно с вероятностью единица обратить и получить, что
со
X(O-S Ь (и) Y (/ — и). (3.8.7)
U=O
Здесь Ь(и), м = 0, 1, 2, —некая функция, для которой
S [1+| «|г]|Ь(ы) |< оо. (3.8.8)
W=O
Заметим, что условие Det A (X) Ф0, —oo<Reh<oo, Im X^ О эквивалентно такому условию: функция
(3.8.9)
не имеет корней в единичном круге I z I ^ 1. В том случае, когда Y (/) = 8(/), т. е. является белым шумом с конечным средним, из этих рассуждений вытекает, что если
Det [I + а (1) z + ... + а (т) zm] (3.8.10)
не имеет корней в единичном круге, то схема авторегрессии
X (/) + а (1) X (/ — 1) + ... + а (пі) X (/ - т) = в (/) (3.8.11) имеет с вероятностью единица стационарное решение вида
со
X(0=2b(i-«)8(«), (3.8.12)
W=O
где
во
S [1 +1 и I'] I Ь (и) I < оо (3.8.13)
W = O
ДЛЯ всех />0.
Иногда оказываются полезными иные результаты той же природы. Дадим следующее
Определение 3.8.2. Функция f (z), принимающая комплексные значения и определенная для Z = (Z1, ..., Zn)?D1 где В—открытое подмножество Сп, называется голоморфной в действительном смысле, если у каждой точки w = (wly ..., Wn) ^ D имеется окрест-ность U, такая, что в этой окрестности f (г) представляется сходящимся степенным рядом, т. е. для всех z?U
со со _*
f (z) = 2 2j akl... kn; J1.../ (Z1-W1Y* (Z1-W1)I*...
^,...,^=0/^...,/^=0 Пі п
... (Zn-WnP(Zn-Wn)1*. (3.8.14)
Введем далее пространства V (/), I > 0, функций z (X), — оо < <Х< оо, имеющих преобразование Фурье вида
со
Z(X)= 2 а (") ехр {— іиЦ, (3.8.15)
U = - 00
где а (и) принимает действительные значения и удовлетворяет условию
І) [\ + \и\']\а(и)\<оо. (3.8.16)
W = ~сс
Тогда верна
Теорема 3.8.3. ?Ъш функции Zj(X) принадлежат V(I), j = 1, ..., я, u f (Z1, ..., Zn)—функция, голоморфная в действительном смысле в окрестности области значений Jz1 (X), ... ..., zn (X); — оо < X < оо}, то f (Z1 (X), ..., Zn (X))также принадлежит V(I).
Эта теорема снова вытекает из результатов Гельфанда и др. (1960). Сравнивая последнюю теорему с теоремой 3.8.2, мы видим, что требуемая здесь область регулярности функции /(•) меньше, а принимаемые ею значения могут быть более общими.
Укажем одно из применений теоремы 3.8.3. Пусть {в. (и)}, и = 0, ±1, ±2, будет /-суммируемым rxr-фильтром с передаточной функцией A(X), удовлетворяющей условию Det A (X) ф O9 — оо<А,<оо. Тогда существует /-суммируемый фильтр \Ъ(и)}, и = 0, ±1, .. .,.с передаточной функцией B(X) = A(X)-1. Или еще можно сказать, что существует /-суммируемый фильтр {с (и)}, и = 0, ± 1, ..., с передаточной функцией С (X) = (A (X) A(X))-1.
В качестве примера совместного использования теорем 3.8.2 и 3.8.3 отметим следующий результат, полезный при линейном прогнозе действительных стационарных рядов.
