Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
3.10.17/ Докажите, что если белый шум є (t), t = 0, ± 1, имеет моменты всех порядков, то авторегрессионная схема (3.8.11) с вероятностью 1 имеет решение X (/), для которого выполнено условие (2.6.1), если полином (3.8.10) не имеет корней в единичном круге.
3.10.18. Докажите, что если F(B; A) = BA, где А, В суть комплексные гХг-матрицы, то детерминант матрицы Якоби dF/дЪ равен (Det А)г; см. Dee-mer, Olkin (1951), Khatri (1965а).
3.10.19. Пусть комплексная гХг-матрица Z имеет различные собственные значения JAy-, / = 1, г. Докажите, что jiy являются голоморфными функциями от элементов матрицы Z. Указание: величины Ji7- являются решениями уравнения Det (Z—JiI) = O; применить теорему 3.8.1 [Portmann (I960)].
3.10.20. Пусть комплексная гХг-матрица Z0 имеет различные собственные значения. Покажите, что существует невырожденная матрица Q, элементы которой яеляются голоморфными функциями от элементов Z для всех Z в окрестности Z0 и при этом Q-1ZQ будет диагональной матрицей в этой окрестности. [Portmann (I960)].
3.10.21. Покажите, что если матрицы Z0, Z, фигурирующие в упр. 3.10.20, эрмитовы, то столбцы Q ортогональны. Выведите отсюда, что унитарная матрица U, элементы которой являются действительными голоморфными функциями от элементов Z, может быть определена так, что UTZU окажется диагональной матрицей.
3.10.22. Докажите, что если для реализуемого гХг-фильтра {а (а)}, м = 0, ±1, существует обратный {Ь (и)}, то b (и), u = Q, 1, задается
как a (0)b (0) = 1, а (0) b (l) + a(l)b (0) = 0, а (0) Ь (2) + а (1) b (1) + а (2) b (0) = =4), ... .
3.10.23. Выполните упр. 2.13.22, используя результаты § 3.8.
3.10.24. Пусть p(S)—монотонно возрастающая функция, такая, что lim р (S +1)/р (S) = I, и пусть функция X (t), t = 0, ± 1, такова, что
существует
S
lim Ip(S)]-* 2 X(t + u+s)X(t + s)
S-*co s=-S
для tt *ч=0, ± 1, ... . Выясните, какой вид примет теорема 3.9.1 для таких рядов X (t).
3.10.25. Примем обозначения теоремы 3.9.1. Докажите, что если моменты malt ..., ak (ult ..., «?_i) выражения (2.11.9) существуют и представляют собой преобразования Фурье—Стильтьеса функций M at ... (A1, A^ _х), — я < Ay я, то
lim (2S+l)-i 2 ^Z01(A1; s).. .dZak(4) s)
S-*oo s=-S
= г)(А1+...+^)с/МСі...аИАї,
3.10.26. Пусть Xf, ..., X/—упорядоченный набор собственных векторов эрмитовой J X/-матрицы Z. Покажите, что
xTZx
fiy (Z)=max—— ,
х хьх
где максимум берется по всем х, ортогональным к хі, ..., х/_ї, и максимум достигается при х=ху.
3.10.27. Пусть А есть эрмитова гХг-матрица, собственные значения и векторы которой будут соответственно jxy- и Vy, /=1, г. Зададим отображение ф действительной прямой в себя и определим rXr-матричную функцию ф(А) формулой
Ф (А) =2* (JV) XyXf. У
Покажите, что ф (А)# = ф (А7?).
3.10.28. Покажите, что существуют постоянные /С, L, такие, что
2я 2Л
J I Д<г> (a) [da < К log Г, J | Д<г> (а) |/>dd < LTP^ о о
7-1
для р, T > 1, где A<r)(a)= 2 ехр {—/а/}.
- /=о
3.10.29. Предположим, кроме выполнения условий теоремы 3.3.1, еще непрерывность Р-й производной функции Л (а) при а = А. Покажите, что последний член в выражении (3.3.18) можно заменить величиной
p=i
3.10.30. Пусть известны действительные числа X (t)> Y (t)rt = 09 ..., Т~1. Положим Z (t) = Х (t)+iY(t). Покажите, что
Re d(P (X) = {Re dp (X) + Re dp (- X)}/2,
Im dp (A,) = {Im dp (X) — Im dP (- X)}/2,
Re dp (X) = {Im 4гГ) (X) + Im 4гГ) (- X)}/2,
Im (А) = {- Re dp (X)+ Це dp (- Я)}/2. Это упражнение показывает, как преобразования Фурье двух действительных наборов данных наблюдений могут быть найдены применением преобразования Фурье к комплексным наборам данных- [Bingham и др.* (1967)].
3.10.31. Докажите, что для целого S
со S-I
2 a (Sv) =S^ 2 Л (2ns/S)9
?)=-00 S = O * у
где а (и) и A (X) связаны между собой формулой (3.2.2).
3.10.32. Покажите, что если а есть r-компонентный вектор и Z есть эрмитова г Xr-матрица, то
ГДЄ
«-[?:]•
3.10.33. будем применять обозначения следствия 3.7.2. Положим M+ = diag {(і/, /=1, где pi+ ='l/fi, если (і ф 0 и (i+=0, если (1 = 0. Тогда /СхУ-матрица Z+=VM+UT называется обобщенной обратной к Z. Проверьте, что
(a) ZZ+Z = Z, (b)Z+ZZ+ = Z+,
(c) (ZZ+)T = ZZ+,
(d) (Z+Z)T = Z+Z. '
3.10.34. Покажите, что для S^T
2л
(b) dp (X) = (2л)'1 J ^ (a) (Я,— а) da. ' о
3.10.35. Покажите, что если AW (X) задается выражением (3.2.4), то для
2m-l
(a) Д«(Х)-(2«+1)-.й. g (^) Dn(X-^).
2я *
(b) Л(») (X) = ^ Л<я) (a) (А,—a) da.
о
3.10.36. Используя разложение через сингулярные значения, покажите что /Х/С-матрица А ранга L может быть записана, как A=BC, где В—матрица размера JxL и С—размера LxK»
3.1Ou37. Пусть гхг-матрица Z0 имеет Det Z0 Ф0. Покажите, что элементы матрицы Z-*- являются голоморфными функциями от Z в окрестности Z0.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
4.1. Введение
Рассмотрим последовательность r-мерных векторов X (t)9 / = 0, ±1, .... В предыдущей главе мы изучали различные свойства конечного преобразования Фурье т-\
