Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
l г(\)
z(2)
2(7—1)1
2(7-2)
2(7-3)
2(0)
(3.7.10)
Используя это понятие, сформулируем теорему.
Теорема 3.7.3. Пусть Z = [z (k — /)] является циклической 7x7х-матрицей, тогда ее собственные значения задаются выражениями
7-І
2 2(/)ехр{— i2njk/T\, k = 0> 7 — 1.
/=0
Им соответствуют собственные векторы T^[exp{—i2njk/T}) J = O9 7—1],& = 0,
(3.7.11)
7 — 1. (3.7.12)
Как видно, собственные значения представляют собой дискретное преобразование Фурье последовательности z (t)9 t = 09 ... .. .., 7—1. Матрица, составленная из собственных векторов, пропорциональна матрице $ из § 3.4. Теорему 3.7.3 можно найти в работах: Aitken (1954), Schoenberg (1950), Hamburger, Grimshaw (1951, стр. 94), Good (1950), Whittle (1951).
Теперь вернемся к рассмотрению квадратных конечных теп-лицевых матриц общего вида C=[c(j—k)]9 /, k=l, 7. Пусть Z —соответствующая циклическая матрица, у которой ?-й элемент первой строки равен с (l—k) + c(\—k + T)9 при этом мы считаем ?(7) = 0. Согласно теореме 3.7.3, собственными значениями Z будут числа
T-I
H (Z) = 2 И— /) + *(-/ + T)] ехр {- i2njk/T\
(3.7.13)
= 2 c(u)exp{i2nuk/T}9 k^=09 ...,7 — 1.
и=-Т+\
Этот набор чисел образует дискретное преобразование Фурье от с(и)9 и = 09 ±1, ±(7—1). Пусть 3y обозначает 7x7-матрицу, столбцами которой являются векторы, определяемые формулой (3.7.12), и пусть Мг обозначает диагональную матрицу
с элементами [хЛ (Z). Тогда
Z = SMMFr. (3.7.14)
и можно рассматривать приближение С с помощью %ТШТ%Х = Z. Имеет место следующая оценка разности:
IC-ZlH 2|CJk-ZjkI»= S1 \и\\с(и)\\ (3.7.15)
j,k и=-Т+1
Эта оценка может быть использована для получения оценок разностей между собственными числами и между собственными векторами матриц ChZ. Например, согласно теореме -Вейланда-Гофмана [Wilkinson (1965)], существует такая нумерация (x11(C), ..., \ііт(С) собственных значений Ji1(C), |хг(С) матрицы С, что
2
T-I
(С) — 2 с (и) ехр {i2nku/T\
и=- 741
T-I
< S |«1И«)Г-
и=-Т+1
(3.7.16)
Если
2 |и||с(и)р<оо, (3.7.17)
M= -СО
то распределение собственных значений матрицы С при T—>оо стремится к дискретному преобразованию Фурье от с (и), & = 0, ±1, ..., ±(Т—1). Большое количество результатов такого характера можно найти в книге Grenander, Szego (4958); см. упр. 3.10.14. Результаты такого типа указывают связь между спектром мощности стационарного временного ряда (этот, спектр определяется как преобразование Фурье автоковариационной функции ряда) и спектром (т. е. набором собственных значений) ковариационных матриц, отвечающих длинным отрезкам этого ряда. Мы вернемся к этому вопросу в § 4.7.
Относительно величины несовпадения собственных векторов С и Z можно рекомендовать работы Гавурина (1957) и Davis, Kahan (1969). Заметим, что приведенные выше результаты могут быть -распространены на случай векторных рядов и на блоки теплице-вых матриц, см. упр. 3.10.15.
Представление (3.7.9) играет важную роль при приближении одной матрицы с помощью другой, меньшего ранга. В этом направлении отметим следующую теорему.
Теорема 3.7.4. Пусть имеется J хК-матрица Z. Среди всех J хК-матриц А ранга L ^./,К минимум величинам
11/([Z-A][Z=A]') (3.7.18)
доставляет ма/прица
a= S1IyUxV/; (3.7.19)
фигурирующие здесь |лу., Uy, Vy те же, что и в теореме 3.7.2. При этом минимальное значение выражения (3.7.18) равно fX/+L.
Таким образом, мы построили А из слагаемых в сумме (3.7.9), соответствующих L наибольшим значениям (Лу. Случай действительных симметричных ZhA разобран в работе Okamoto (1969).
Следствие 3.7.4. Указанный выше выбор А позволяет также минимизировать
jz-ap=S 2 IV-^VI1. (3.7.20)
/ = 1 /е= 1
когда минимум ищется среди всех А ранга L^iJ, К* Минимум этот равен
2 tf. (3.7.21)
/>L_
Для действительных ZhA результаты, подобные этому следствию, имеются в работах: Eckart, Young (1936), Kramer, Mathews (1956), Rao (1965).
3.8. Функции от преобразования Фурье
Пусть X(t), t = 0, ±1, ...,—интересующий нас векторный временной ряд. Для того чтобы рассматривать статистические свойства некоторых рядов, полученных в результате применения операторов к ряду X(t), нам необходимы некоторые сведения об аналитических свойствах функций от преобразований Фурье. Дадим следующее
Определение 3.8.1. Пусть С обозначает поле комплексных чи-сел. Функция f(z), принимающая комплексные значения и определенная для Z = (Zj, •••» zn)?D, где D—открытое подмножество из Сп, называется голоморфной в D, если каждая точка W = (Oy1, ... ..., Wn) 6 D имеет окрестность U', такую, что f (z) допускает разложение в степенной ряд
/(Z) = S аъ...^(Z1-W1)**... {Zn-Wn)** (3.8.1) для всех z?U.
Иногда для определения голоморфных функций бывает полезна
Теорема 3.8.1. Допустим, что FJ(y1, ..., ут\ Z1, Zn), j = 1, ..., т, —функции от т + п переменных, голоморфные в окрестности точки (иг, ..., ит\ V1, ..., Vn) G Ст+п. Если Fj (U1, ... • •. > ит\ V1,..., Vn)I = 0, / = 1,..., т, а детерминант матрицы Якоби