Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
'О, если и четно,
а (и) •
2 (3.3.28)
—, если и нечетно. v
пи
Допустим п нечетно. Тогда мы приходим к рассмотрению фильтров вида
... + ±h(l)[X(t-n)—X(t + n)]Y (3.3.29)
На рис. 3.3.2 изображены для 0 < X < ~ мнимая часть идеальной функции A(X), задаваемой формулой (3.3.27), и мнимые части приближений к А (Х)у вычисленных, согласно (3.3.29), при п = 7 для различных множителей сходимости, взятых из табл. 3.3.1. В силу симметрии рассматриваемых функций достаточно изображать их лишь в указанной частотной области. Приведенные графики показывают важность введения множителей сходимости, а также и то, каким образом различные коэффициенты сглаживания влияют на результат.
Вопросы построения численных методов для нахождения фильтров рассматривались в работах: Kuo, Kaiser (1966), Wood (1968); см. также IEEE Trans. Audio Electro. (1968). Goodman (1960) исследовал численные реализации преобразования Гильберта и фильтров, пропускающих определенные полосы частот. В § 3.6 мы обсудим способы быстрого вычисления профильтрованного ряда Y(t). Различные аспекты вопросов, разобранных в этом параграфе, рассмотрел Parzen (1963).
"Множитель н Множитель
Де ло Балле-Пуссена Хэмминга - Тьюки
Рис. 3.3.2. Мнимая часть передаточной функции преобразования Гильберта и ее различные аппроксимации, построенные с помощью множителей, улучшающих сводимость, при п = 7.
3.4. Конечные преобразования Фурье и их свойства
Для данной последовательности а (и), U = O1 ±1, в предыдущем ,параграфе приходилось рассматривать выражения вида
п
2 ехр{—iku}a(u). (3.4.1)
. Ii= — п
Последнее при фиксированном п называется конечным преобразованием Фурье набора чисел а(и)> и = 0у ±1, ... , ±я. При анализе временных рядов такие преобразования будут представлять собой важные статистики.
Прежде чем двигаться дальше, целесообразно слегка изменить обозначения, а также рассмотреть общий случай векторных последовательностей. А именно, рассмотрим последовательность /--мерных векторов X (0), X (1), ..., X (7 — 1), определенную на числах 0, 1, ..., T — 1, в отличие от прежнего выбора в качестве области определения чисел —пу —п-\-\у ..—1, 0, 1, ..., п. Определим конечное преобразование Фурье этой последовательности формулой
T-I
d^-2X(0exp{— Ш}, — оо < Я< оо. (3.4.2)
В случае когда Т = 2п+\, где п — целое, можно записать
п
&Р(Х)=ехр{—1Хп} 2 Х(и + п)ехр{— Щ.
Понятно, что единственная разница между определениями (3.4.1) и (3.4.2) состоит в наличии множителя, равного по модулю единице. Какое из двух определений более удобно, зависит от конкретной ситуации.
Среди свойств определения (3.4.2) выделим следующее:
<№(X + 2n) = dT(fy (3.4.3)
если же компоненты X (t) принимают действительные значения, то
WW)==dT(-b). (3.4.4)
Из этих двух свойств вытекает, что в случае действительных компонент в качестве основной области определения функции d(P(k) может быть взят отрезок я. Далее заметим, что для дан-
ных X (/), \(t)yt = Oy ...,Г —1, и постоянных а и р выполняется соотношение
d$+py (А.) = CXd1J» (Ц + №> (Я,). (3.4.9)
Иногда требуется сравнить конечное преобразование Фурье свертки двух последовательностей с преобразованиями Фурье самих этих последовательностей. Справедлива
Лемма 3.4.1. Пусть Х(?), t = 0, ±1, ... ,— равномерно ограниченная последовательность г-мерных векторов, и пусть а (/), t = 0, ± 1, ... ,— такая г-матричная функция, что
S {1 + |а|}|а(и)|<оо. (3.4.6)
M = - со
Положим
Y(0 = Sa(<-tt)X(M). (3.4.7)
M^
Тогда существует такое конечное /С, что
I d</> (А) — А (X) d</> < /С, -оо < X <оо, (3.4.8)
где
GO
A(X)= 2 а(и)ехр{— iU). (3.4.9)
M= - оо
Мы видим, что конечное преобразование Фурье профильтрованного ряда приблизительно равно произведению передаточной функции фильтра и конечного преобразования Фурье исходного ряда. Этот результат в дальнейшем позволит осуществлять фильтрацию интересующих нас рядов с помощью численных методов; см. также лемму 6.3.1.
Приведем теперь несколько примеров конечного преобразования Фурье. В рассматриваемых случаях проще воспользоваться симметричным определением
S X(O ехр {—/W}. (3.4.10)
t=-n
Пример 1 (постоянная). Пусть X (t) = 1, t = 0, ±1, ... ; тогда выражение (3.4.10) обращается в
п sin(n+l )х
? expf-Ш}=—v XZJ = 2nDn(X). (3.4.11) t-- n sin — X
График этой функции приведен на рис. 3.2.1, 0<Я<я. Заметим, что функция имеет пики при Х = 0, ±2я, ....
Пример 2 (гармоническое колебание). Пусть X(t) = ехр t = 0, +1, ... , где со —действительное число, тогда (3.4.10) об-
ращается в
п sin (л+і-) (X-CD)
¦2 ехр {—і (X-(O) t} =-V , У-= 2jtD„(*-<o). (3.4.12)
t=-n
SiHy(X — ©)
Эта функция совпадает с преобразованием из примера 1, если сдвинуть аргумент на со. Она имеет пики при Х = (о, (о±2я,
Пример 3 (комплексный тригонометрический полином). Пусть X(O =2*PfcexP {"Mb предыдущих рассмотрений ясно, что (3.4.10) совпадает с
sin (n+^rr) (l—(dk)
?р» V х '- (3.4.13)
