Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Условие 4.3.1. Функция h(u)> — оо < и < оо, ограничена, имеет ограниченную вариацию и обращается в нуль при |м|> 1.
Предположим, что ha (и) удовлетворяют этому условию для a= Ij ...,г. Конечное преобразование Фурье, которое мы рассматриваем, определяется формулой
№ (X) = [Sha(t/T) Ха(t)ехр {- M}.]
==[dp{X)] для — оо<Х<оо, a = I9 ...,г. (4.3.1)
В данном контексте функция ha(t/T) будет называться окном просмотра данных или сглаживающей функцией. Преобразование вовлекает только члены ряда X(t) с t = 0, ±1, . л., ± (T- 1). Если ha (и\*= 0 при и < 0, тогда в преобразование войдут лишь значения X(t) при t = 0, ...,T-— 1. Таким образом, асимптотические результаты мы сможем применять как к двусторонним, так и к односторонним статистикам. Если не известен некоторый отрезок наблюдений внутри периода наблюдений ряда, то можно оперировать только имеющимися в распоряжении данными, выбрав функцию h {t/T)} обращающуюся в нуль на этом отсутствующем отрезке. Если компоненты ряда наблюдались на разных временных промежутках, то можно взять ha(t/T), не обращаю-' щейся в нуль на этих промежутках. Положим
t
Шау(^Г)]еХр {-ІЩ
для — оо < Я, < оо и а19 ..., ak^= 1, ..., г. (4.3.2)
Если .же
Н%\..аЛЦ
ехр{— i%t}dt (4.3.3)
и если допустимо применение формулы суммирования Пуассона [Edwards <1967, стр. 173)], то
H%>...akQ) = T S Лаі...ак(Т[Ь + 2лІ]). (4.3.4)
/ = -г OO
Рассмотрение множителей сходимости в § 3.3 наводит на мысль, что значения Нй1... ak будут велики только для X, близких к 0. Отсюда последует, что функция (4.3.2) будет принимать большие по величине значения только для К близких к кратным 2я. Напомним, что
Ca1 ...*k(Ui> ...,^-i) = cum {Xe1(^i), Xakaml{t + Uk_i),Xak(t)}
(4.3.5)
и что при
• ••."a-i)K» (4.3.6)
определялась функция
Za1 ... ак (4» • • • » 4-ї).
= (2я)-*+12... 2 ехр {- і (Ku1+... +h-i»k-i)}
XCat ./.ak(UU Uk-t). (4.3.7)
Используя эти функции, сформулируем следующую теорему.
Теорема 4.3.1. Пусть X (t), t = 0, ± 1, ..., —стационарный векторный г-компонентный временной ряд, для которого выполнено (4.3.6). Предположим, что ha(u), —оо<а<оо, удовлетворяет условию 4.3.1 для a = I9 ..., г. Тогда
сшп{<Й?(М. ....<(**)}
И2я)*-»<1.. ...«4(*f. .... Vi) + o(T), (4.3.8)
причем оценка порядка Остаточного члена равномерна по 4, ... ,4. Если ^+.,.+^ = 0(то(12я), то
cum{4T(4),. •.,4? (4)}~ VnY-1THa1 ...ak (0)
X(4, ...,Vi)- (4.3.9)
Если же 4+•••+4^O (mod2jt), то кумулянт будет иметь меньший порядок роста по Т. Упражнение 4.3.9 позволяет предположить, что при оценке кумулянтного спектра (4.3.7) можно
исходить из . величин <4Г) (X1), • • •.(4)* У которых X1 + ... ... +4 = 0 (mod2jt).
. В некоторых случаях остаточный член в выражении (4.3.8) имеет порядок меньший, чем о (T). Допустим, что вместо (4.3.6) выполнено условие
2-.' 2 [1+1 like, ...ak(UU ^1)KoO,
/=1, k-\. (4.3.10)
Тогда справедлива
Теорема 4.3.2. Пусть X(t), t = 0, ±1, .. .,—векторный стационарный г-компонентный ряд, удовлетворяющий условию (4.3.10). Предположим также, что для ha(u), — оо < и < оо, выполнено условие 4.3.1 'при а—\, ...,г. Тогда
cum {4Г) (X1), ...,4^(4)}
= (2я)*-і<> .. Л^2 4) ^ ... ak (4, • • •. 4-і) +jo 0). (4.3.11)
причем оценка порядка остаточного члена равномерна по
X1, ..., 4-
С качественной точки зрения результаты теорем 4.3.1 и 4.3.2 одинаковы. Однако последняя показывает, что ослабление меры зависимости внутри рассматриваемого ряда, о чем свидетельствует замена условия (4.3.6) на (4.3.10), приводит к уменьшению асимптотического остаточного члена. Согласно упр. 4.8.14, остаточный член можно сделать еще меньше путем выбора таких множителей ha(u), для которых преобразование Фурье быстро обращается в нуль с ростом | X |.
Множитель сходимости
при 0^t и < 1,
(4.3.12)
для остальных и v '
представляет особый интерес. В этом случае преобразование Фурье имеет вид
T-I
d?>(X) = 2Х(/)ехр{— Ш\ для — оо<Х<оо. (4.3.13)
t = 0
Из выражения (4.3.2) получаем
Н{?\.. ak (Я.) = S ехр {- Ш} = Д<" (К). (4.3.14)
t = 0
Функция Д(Л(А) обладает следующими свойствами: &{Т)(Х) = Т при Я ее= 0 (mod 2я), Д(7> (2ns/T) = 0 для целых s^O(modT).
Справедлива также оценка | Дт (X) | ^ 1)
• 1 *
sin у л
показываю-
щая, что при X, не являющихся близкими к кратным 2я, значения Д(Л(Я) не слишком велики. В нашем случае выражение (4.3.11) примет вид
CUm(C(M, ...<Ч^)}
= (2^-^(^2^)^...^(^...,^,) + 0(1). (4.3.15)
'Этот совместный кумулянт принимает большие по величине значения, когда сумма X1 + ... + Xk близка к некоторому кратному 2я. Заметим, что первый член в правой части выражения (4.3.15) обращается в нуль для Xj = 2щ-/Т, где sy —целые числа, такие, что Si+... + s^O (mod 7).
Выражение (4.3.15) выведено в Brillinger, Rosenblatt (1967а); укажем также другие работы, посвященные этой теме: Davis (1953), Root, Pitcher (1955), Kawata. (1960, 1966). Согласно упр. 4.8.21, в некоторых случаях для введения коэффициентов сглаживания эффективнее проводить вычисления не с функциями времени, а с функциями частоты.
