Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
#Р(Ь)= 2 Х(0ехр{— Ш}, —оо<Я<оо, (4.1.1)
предполагая X (t) заданной неслучайной функцией. В этой главе приводятся разнообразные свойства величин dp (к), соответствующих стационарным временным рядам X (?), / = 0, ±1, Кроме того, для таких X (t) будут рассмотрены асимптотические распределения, оценки с вероятностью 1, свойства сверток, а также выведено представление Крамера.
Мы уже упоминали, что преобразование Фурье обладает рядом ценных свойств; например, в гл. 3 было показано, что дискретное преобразование Фурье можно легко подсчитать с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Теперь нам предстоит проверить, что это преобразование обладает полезными и элементарными статистическими свойствами. По всем этим причинам преобразование Фурье играет основную роль при анализе временных рядов.
Однако прежде чем излагать статистические свойства преобразования (4.1.1), определим два типа комплексных случайных величин. Эти величины будут важны при исследовании распределений различных статистик, связанных с временными рядами.
4.2. Комплексное нормальное распределение
Если X —случайный вектор с г действительными компонентам^ имеющий нормальное распределение со средним рх и ковариационной матрицей Sx^, то условимся писать, что X имеет распределение Nr (iix, 2И). На протяжении всей книги нам часто придется рассматривать случайные векторы X, имеющие г
комплексных компонент. Мы скажем, что такой вектор X имеет распределение Ncr(\ix, 2и), если сопоставленный ему вектор с 2г действительными компонентами
[ReX ,
(4.2.1)
имеет распределение N. '
FReX 1 Lim X J
1. lP
mS
XX
ReS
XX J
(4.2.2)
где fix—'некоторый r-компонентный комплексный вектор, a S^x-эрмитова неотрицательно определенная г х /"-матрица. В этом случае говорят также, что X является комплексной многомерной нормально распределенной величиной со средним \ах й ковариационной матрицей ^XX- При этом
EX = ^, (4.2.3)
Е{(Х-^)(Х-^)'} = 2„ Е{(Х-^)(Х-^)г} = 0.
(4.2.4) (4.2.5)
Отметим, что для класса комплексных векторных случайных величин, действительная и мнимая части которых имеют совместное многомерное нормальное распределение, справедливо свойство: если матрица (4.2.4) диагональна, то компоненты вектора X будут статистически независимы, см. упр. 4.8. L Различные свойства нормального распределения рассмотрены в статьях: Wooding (1956), Goodman (1963), James (1964); см. также 'упр. 4.8.1—4.8.3. Упомянем следующее свойство. Если матрица 1»хх не вырождена, то дифференциал распределения вероятности вектора X дается формулой
я-(DetS**)-1 ехр {-(x-,?)'SU(x-i*,)}. % •
X IKdReX,)(dimXy) (4.2.6)
/
для —оо < ReXy, Im Xy < оо. В случае г=1, если X имеет распределение N? (\ix, охх), то величины ReX и ImX независимы и имеют соответственно распределения Ni (Re Jix, охх/2) и jv1(Im \ix, охх/2).
Переходя к другому классу величин, предположим, что x1, .. .,xn независимы и имеют распределение Nr(Ot 2ХХ). Тогда говорят, что rxr-матричная функция
w=Sx7xj
/=1
имеет распределение Уишарта размерности г с п степенями свободы. Это условие записывается так: W имеет распределение Wr(п, З,,). С другой стороны, если X1, Х„ — независимые величины с распределением Nf(O, Sxx), то говорят, что rxr-матричная случайная величина
W= 2 X7X) (4.2.8)
имеет комплексное распределение Уишарта размерности fen степенями свободы. В этом случае пишем, что X распределена как Wf (n, SYX). Комплексное распределение Уишарта ввел Goodman (1963). Свойствам этого распределения посвящены упр. 4.8.4—4.8.8; см. также-Srivastava (1965), Gupta (1965), Kabe (1966, 1968), Saxena (1969) и Miller (1968, 1969). Плотность этого распределения имеет вид
|У <'-1>/з П Г (л -/ + I)J (Det Sx*)-* (Det W)"-'
X ехр {-tr SAW}; (4.2.9) здесь п>ги W>0. В числе других свойств отметим следующие:
W = WT, (4.2.10)
EW = ^S„ (4.2.11)
и
cov{W/k, Wlm\ = e{{Wjb-nSjt)(w"lM-hZtM)} = «2,,?.. (4.2.12)
Комплексное распределение Уишарта будет полезно при построении аппроксимаций для распределений оценок матрицы спектральной плотности.
В последних главах книги нам понадобится понятие асимптотической нормальности. Говорят, что r-компонентная векторная последовательность gr, T = 1, 2, ..., имеет асимптотически нормальное распределение Nr(tiT, Sr), если последовательность
1/2 (St""Mt) сходится по распределению к Afr(0, i). Говорят также, что r-компонентная векторная последовательность gr, T = 1,2, ...,имеет асимптотически нормальное распределение N?(pLTy S2.), если последовательность S j1/2 (?г — fxr) сходится по распределению к. Nf (О, i).
4.3. Стохастические свойства конечного преобразования Фурье
Рассмотрим векторный r-компонентный стационарный ряд X(O» * =0, ±1, .... В этом параграфе будут выведены асимптотические выражения для кумулянтов конечного преобразования Фурье отрезка наблюдений указанного ряда. В § З.Ї мы видели, что некоторые преимущества по сравнению с обычным конечным преобразованием Фурье можно получить, вводя в определение преобразования множители сходимости. Будем использовать множители сходимости и здесь, тогда результаты для обычного конечного преобразования Фурье получатся как частный случай. Нам понадобится
