Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 9.3.2. При выполнении условий теоремы 9.3.1 %j(t) — ряд ]-й главной компоненты —имеет спектр мощности \Xj(X)y — оо < А,< оо, а ряды и Ca(O» j?=k* для всех частот
имеют когерентность 0.
Ряд ?>(t) обладает матрицей спектральной плотности t
(X)
0
0
(9.3.14)
Пусть X* (?), f = 0, ± 1, ..., — ряд, наилучшим образом аппроксимирующий X(t)y т. е. выбранный в соответствии с теоремой 9.3.1. Определим ряд ошибок формулой
8(f) ^ X(Z)-X* (f). (9.3.15)
Выражение этого.ряда через представление Крамера имеет вид J[I-A (X)] ехр {iXt} dZx (X) =
= j j S Vy (X) У~(Я)*| ехр {iXt) dZx (X). (9.3.16)
Мы видим, что среднее s(t) равно 0, а матрицей спектральной плотности служит
fee (*) = 2 I*/ (A) Vy (Я) V7W\ (9.3.17)
Так что степень аппроксимации X(t) рядом X*(t) определяется тем, насколько близки к 0 при / > q числа |л,у (А), —оо < X < оо. Ясно также, что и матрица кросс-спектра s(t) и ?(t)> и матрица кросс-спектра s(t) и X*(t) тождественно равны нулю.
Упомянем теперь несколько алгебраических свойств рядов главных компонент. Поскольку
получается, что
Ы-Ч='и(Ч = 'и(Чт.
H7 (—A) = H7(A,),
(9.3.18) (9.3.19)
в то время как
V. (-K) = V1 (X), / = 1.....г. (9.3.20)
Поскольку, кроме того,
1и(* + 2я) = 1„(Х), (9.3.2.1)
ясно, что
(Xy (Я+ 2JT) = [Xy (Я) (9.3.22)
и
Vy (Я+ 2зт) = Уу (Я), /=1, г. (9.3.23)
К сожалению, при фильтрации ряда X(t) соответствующее преобразование ряда главных компонент обычно не является элементарным. А именно, пусть к ряду X(t) применен гхг-фильтр {d(u)} с передаточной функцией D(K):
Y (t) = S d (t- и) X (и). (9.3.24)
и
Тогда матрица спектральной плотности результирующего ряда Y (t) будет
fYY (X) = D(X)ixx(K)W(Kf\ (9.3.25)
Собственные значения и векторы этой матрицы, как правило, не выражаются простым образом через собственные значения и собственные векторы ixx(К). Имеется, однако, случай, когда эта связь дается удобным соотношением. Если матрица D (К) унитарна, то
= (9.3.26)
и при этом
Vy (tyy (X)) = DlKy Vy (ixx (К)). (9.3.27)
Наложив дополнительные условия, из теоремы 9.3.1 можно вывести некоторые свойства регулярности фильтров {Ь(а)|, {с (и)}.
Теорема 9.3.3. Примем условия теоремы 9.3.1 и предположим еще, что
2[1+МЧ|ся(и)|<оо (9.3.28)
и
при некотором Р^О. Пусть также все собственные значения матрицы fxx(X) различны. Тогда фильтры {Ъ(и)\ и {с (и)}, выражения для которых даны в теореме 9.3.1, обладают свойством
2[l+M4|b(a)|<oof (9.3.29)
и
2[1+|и|р]|с(и)|<оо. (9.3.30)
С качественной точки 'зрения этот результат означает, что коэффициенты фильтров тем быстрее убывают к нулю при I и j —> —>оо, чем слабее зависимость ряда X (t) от времени. Применительно к ковариационным функциям рядов главных компонент и ряду ошибок в таком случае можно получить
Следствие 9.3.3. При выполнении условий теоремы 9.3.3
2[1+1"П|ск(и)|<оо (9.3.31)
и
и
2[l+klP]|cee(a)|<:oo. (9.3.32)
и
Имеется возможность ввести ряд главных компонент иначе, чем указано в теореме 9.3.1.
Теорема 9.3.4. Пусть выполнены условия теоремы 9.3.1, и пусть ряд ^y(Oi / = 0, ±1, ..., из (9.3.13) принимает действительные значения и имеет вид
J .By (X) ехр {Ш\dZx (X)9 * (9.3.33)
о
где 1 х r-матрица By (X) такова, что By (X) By (Х)х= 1. Ряд Cy (t) имеет максимальную дисперсию и когерентность 0 с рядами lk(t)y ".%</, /=1, г. Эта максимальная дисперсия ряда C7- (t) равна
2я
J [Xy (a) da. (9.3.34)
о
Такой подход применялся в работах: Brillinger (1964а) и Goodman (1967); по сути дела, ряд главных компонент при этом определяется не прямо, а посредством рекуррентной процедуры.
Ряды главных компонент обладают более сильными свойствами оптимальности, чем указано в предыдущей теореме. Для удобства формулировки соответствующего утверждения предположим, что EX (t) = 0.
Теорема 9.3.5. Пусть X(t)9 t = 0y ±1, есть г-мерный ряд со средним 0 и абсолютно суммируемой автоковариационной функцией; ixx(X)9 — оо < Я< с»,— его матрица спектральной плотности. Тогда \-е собственное значение матрицы спектральной плотности ряда
X (t)—2 с (t - и) С {u), (9.3.35)
и
построенного по
6(0 = 2Ь(*-и)Х(и) (9.3.36)
и
(где {Ъ(и)\ есть qxr-y а {с(и)} есть rxq-фшьтр), будет минимальным и равным Py+^(X), если выбрать. {Ъ(и)\ и {с(и)\ по формулам (9.3.5) и (9.3.6) соответственно.
Собственные значения и векторы матрицы спектральной плотности используются в работах: Wiener (1930), Whittle (1953), Пинскер (1964), Koopmans (1964b) и Розанов (1963). Другой близкий по содержанию результат содержит лемма 11 монографии Dunford, Schwartz (1963), стр. 1341.
9.4. Построение оценок
и их асимптотические свойства ,
Предположим, что в нашем распоряжении имеется отрезок X(O, f = 0, T-—1, r-мерного ряда X(t) с матрицей спектральной плотности fXx(^)y и мы хотим получить оценки собственных значений и векторов этой матрицы, т. е. (ху- (Я), Vy(X), / = 1, г. Существует, очевидно, такой способ оценки: построить оценку i(xx (X) матрицы спектральной плотности и взять собственные значения и собственные векторы f(xx (X) в качестве оценок для (Xy (X) и Vy (X) с теми же номерами. Займемся выяснением некоторых статистических свойств получающихся на таком пути оценок.
