Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
EW-^ = (W-T-I)-1S-1.
Ь) Если матрица W распределена по закону W? (п, 2), то EW-1 = ^—T)-1S-1.
См. Wahba (1966).
ГЛАВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
9.1. Введение
В предыдущей главе была рассмотрена задача аппроксимации стационарного ряда при помощи пропущенного через линейный фильтр другого стационарного ряда. В этой главе мы изучим проблему аппроксимации ряда посредством фильтрации не другого, а того же самого ряда; при этом ограничимся фильтрами, имеющими ранг меньший, чем число компонент ряда.
Уточним постановку задачи. Пусть рассматриваемый векторный ряд X (t), t = 0, ±1, ...,сг компонентами имеет среднее
EX(O = Cx, (9.1.1)
абсолютно суммируемую автоковариационную функцию
E{[X(t + u)-cx][X(t)-cxf} = cxx(u), « = 0, ±1, (9.1.2)
и матрицу спектральной плотности
qo
^(^) = (2^)-1 2 схх(и)ехр{—іЩ, — оо< Я< оо. (9.1.3)
U= - qo
Допустим, необходимо передать по каналам связи из одного пункта в другой значения величин X (t), но при этом в нашем распоряжении только q ^ г каналов. Предположим, что процесс передачи ряда X (t) по q каналам связи можно описать как фильтрацию, в результате которой получается ^-компонентный векторный ряд
S(O =2Ь(г — и)Х(и), t = 0, ±1, ... (9.1.4)
и
(здесь {Ъ(и)\ есть <7Хr-матричный фильтр), и собственно передачу. Пусть на цыходе каналов связи принимается ряд, который выступает в качестве оценки для X (t):
X* (O = Ii + 2 с (t - и) S (и), (9.1.5)
ц
9.1. Введение
363
где fx—вектор с г компонентами, а {с(и)} есть гХ(?-фильтр. Мы ставим себе целью так выбрать (х и фильтры {Ь(#)}, {с(и)}, чтобы ряд X*(t) был близок к X(I).
Связь между Х*(?)-— (х и X(t) линейна и инвариантна во времени, она описывается передаточной функцией
A(X) = C(X)B(X)9 (9.1.6)
если В (X) и С (X) обозначают соответственно передаточные функции фильтров {Ъ(и)\ и {с (и)}. Теперь ясно, что поставленная задача сводится к определению г xr-матрицы A(Ji). ранг которой меньше г, так, чтобы величина разности
X (О—X* (t) + (х = J ехр {iXt} dZx (X) — J A (X) ехр {iXt} dZx (X)
(9.1.7)
оказалась мала.
Можно было бы рассматривать эту задачу и как отыскание способа построить такой ^-мерный ряд ?(?), который несет значительную часть информации об исходном ряде X(t). Отметим здесь, что Bowley (1920) однажды сделал такое замечание: „Показатели применяются для того, чтобы измерить изменения величины, не доступной прямому наблюдению, но о которой нам известно, что она оказывает определенное воздействие на другие величины, непосредственно наблюдаемые, причем хотя само это воздействие вызывает либо одновременное увеличение, либо уменьшение всех наблюдаемых величин, его эффект маскируется действием многих других причин, по-разному влияющих на отдельные наблюдаемые". Возможно, что введенный ряд?(1) будет выступать в роли ряда показателей, описывающих воздействие на X(t) со стороны некоторого скрытого от наблюдателя ряда. Вводя ряд %(t), условимся считать, что он наилучшим среди ^-мерных рядов образом позволяет восстановить X(t) с помощью линейных операций, инвариантных во времени.
Правомерна и другая точка зрения. Введем ряд e(t), описывающий ошибку или искажение
s(t) = X(t)^-X*(t); (9.1.8)
тогда получим
Х(0=--^ + 2с(*-«)Ш+?(0> * = ±1, ... . (9.1.9)
. и
Ряд X(t) оказывается выраженным как профильтрованный вариант ряда %(t), имеющего меньшую размерность, плюс ошибка. Приведем пример ситуации, в которой полезна такая модель: пусть ? (t) представляет собой ряд импульсов, вызванных q землетрясениями, одновременно происходящими в разных местах; пусть X (t) представляет сигналы, принятые г сейсмографами, и
пусть с (и) описывает переходные явления в земной коре, связанные с землетрясениями. Сейсмологов интересуют свойства ряда t = 0, ±1...; см., например, Ricker (1940) и Robinson (1967b).
Существейным моментом решения этих задач является аппроксимация изучаемого ряда другим, имеющим меньшую размерность. В § 9.2 мы приводим обзор некоторых аспектов классического анализа главных компонент векторных переменных.
9.2. Анализ главных компонент векторных величин
Пусть X—случайный вектор с г компонентами, имеющий среднее \хх и ковариационную матрицу 2ХХ. Займемся задачей одновременной минимизации всех собственных чисел симметричной матрицы
E {(X-(X-CBX) (X-ji-CBX)T} _ (9.2.1)
за счет выбора вектора (х с г компонентами, <ухг-матрицы В и rx^-матрицы С. Определив* соответствующие величины jut, В и С, можно убедиться, как уже отмечалось в § 8.2, что они доставляют минимум также монотонным функциям от собственных чисел матрицы (9.2.1), таким, как след, детерминант и диагональные элементы.
Поскольку любая rxV-матрица А ранга q ^ г может быть представлена в виде произведения CB, в котором В имеет размеры qхг, а С—размеры гхд (упр. 3.10.36), то тем самым, отыскивая В и С, мы одновременно найдем матрицу А ранга, не превосходящего q, которая минимизирует собственные числа матрицы
E {(X-(X-AX) (X-(X-AX)*}. (9.2.2)
Ответ на поставленную экстремальную задачу дает
