Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(0), причем все собственнее значения различны. Применяя (7.6.11) и разложения, использованные при доказательстве теоремы 9.2.4, накажите, что (Ay, Vy, у —-1, г9 являются асимптотически совместно нормальными и, Kl#ме
того,
2Я
™ ?*} - 6 {/-*} щ i VJf^ («> Vy iа <ftz,
о
2Я
w {fly, V*}~ Г 2 {(VJf^ (a) Vj
X (Wjfxx (- a) Va) + (V]fxx (a) V*) (VJf^ (- a) V J }
X(Wk-M"1 v»] da,
2Я
X (Vfe (- «) V*>+ (V?fxx (a) Vft) (\]iXX (- «) Vj }
X(IV-Hi)-1 V?vjda.
10.1. Введение
В этой главе рассматривается аппроксимация одного стационарного, временного ряда другим, прошедшим через фильтр, ранг которого меньше размерности фильтруемого ряда. А именно, пусть X(O есть r-мерный, a Y (t)—s-мерный стационарные ряды, так что
/ = 0, ±1, является рядом размерности r + s.
Предположим, что мы заинтересованы в превращении ряда X (t) в <у-мерную вектор-функцию, например, вида
S(0=2b(*-u)X(u), ; (10.1-2)
и
t=*0, ±1, где {Ь(и)} — некоторый qxг-матричный фильтр. Допустим, что в итоге мы хотим получить такой s-мерный ряд
Y*(/) = *i + 2c(*-*/)?(*/), (Ю.1.3)
и
который мало отличался бы от Y (t) за счет удачного выбора вектора |i9 sx^-фильтра \с(и)} и фильтра {Ъ(и)}. Если ряд Y(O совпадает с Х(^), то приходим к задаче, обсуждавшейся в предыдущей главе, для решения которой матрицу спектральной плотности изучали с помощью главных компонент. Если ? = min (г, s), то фактически не требуется никакого уменьшения размерности, и тогда имеем дело со схемой множественной регрессии, обсуждавшейся в гл. 8.
Связывающее ряды Y*(0 — М< и X(O соотношение линейно и инвариантно во времени, его передаточная функция —
А (Я) = В (Я) С (Л), (10.1.4)
где В (А,) и С (к) — передаточные функции фильтров {Ь (и)} и {с (и)} соответственно. Подчеркнем, что при указанных вначале ограни-
КАНОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
чениях ранг матрицы A(Ji) не превосходит q. С другой стороны, если известно, что ранг матрицы А (Я) меньше либо равен q, то можно найти такую ^xr-матрицу В (Я) и sxtf-матрицу С (Я), что выполняется соотношение (10.1.4). Итак, поставленная задача заключается в аппроксимации Y (*) рядом X (t), пропущенным через фильтр, ранг которого не превосходит д.
В следующем параграфе рассмотрим аналогичную задачу не для рядов, а для векторных случайных величин. Основной библиографический источник в этой главе —Brillinger (1969d).
10.2. Канонический анализ
векторных случайных величин
Пусть задан (г+ s)-компонентный случайный вектор,
(10.2.1)
причем X имеет г, a Y — s компонент. Предположим, что среднее значение (10.2.1) есть
(10.2.2)
а его ковариационная матрица—
\lXXlXY] • (10-2-3>
I Ayx*YY J
Поставим такую задачу; определить вектор jn размерности S9 <7X r-матрицу В и sx^-матрицу С так, чтобы оказался мал вектор
Y-fx-CBX. (10.2.4)
В качестве меры величины (10.2.4) выберем действительное число E {[Y - |и - CBX]* Г-1 [Y - їх - CBX]}; (10.2.5)
здесь Г —некоторая положительно определенная симметричная матрица. Справедлива
Теорема 10.2.1. Пусть задана (г + 8)-мерная векторная случайная величина (10.2.1) со средним (10.2.2) и ковариационной матрицей (10.2.3). Предположим, что матрицы 2ХХ и Г невы-
рождении. Тогда минимум (10.2.5) обеспечивается выбором.
Г-1/¦2„Su, (1Q.2.6)
В
ѫó/« [V1 ... VJ M = My ^СВ|лх,
(10.2.7) (10.2.8)
где V;. это ]-й собственный вектор матрицы Г-1/2 2^2??^"1/2, / = 1, ..., s. ?сли [Xy обозначает соответствующее собственное значение, то величина минимума дается выражением
tr{(2K1,-ЪУХЪХ\ЪХУ) Г-*} + S^/ = tr{SKyr-i}- S^. (10.2.9)
Особенно важен частный случай Г=1. Тогда приходится отыскивать собственные значения и векторы матрицы 2КХ2^2ХК. Если обозначить их \xf и Vy, то ковариационная матрица ряда ошибок
Y-fi-CBX
(10.2.10)
при указанном в теореме выборе
[-VZ
в
окажется равной
C = [V1... VJ
2rr—2rx2xx2xr + S HyVyV/
і > я
(10.2.11)
(10.2.12) (10.2.13)
(10.2.14)
Полагая теперь q~ г, приходим к схеме множественной регрессии (соответствующие результаты сформулированы в виде теоремы 8.2.1). При S = г и Y = X приходим в сущности к результату теоремы 9.2.1. Близкий по содержанию к теореме 10.2.1 результат приводит Rao (1965, стр. 505).
С этой теоремой весьма тесно связана следующая задача: определить # х 1-матрицу ц, ^xr-матрицу D и ^xs-матрицу E
так, чтобы оказался мал вектор
ey-h-dx. (10.2.15)
Изучение этого вопроса приводит к такому ответу.
Теорема 10.2.2. Пусть задан случайный вектор (10.2.1) со средним (10.2.2) и ковариационной матрицей (10.2.3). Допустим, что Ъхх и sy-j, невырожденны. Вектор р размерности q, qxr-матрицаDu qxs-матрица Е, удовлетворяющие условию Е2к'уЕт= =51, dsxxdT=I, которые минимизируют
E {[e y - ц - dx]t [ey-h- dx]},
(10.2.16)
задаются выражениями
d =
¦иг
¦vj-
e =
.VJJ
Ziyy
(10.2.17)
(10.2.18)
и
(л=Е|лу— dfji*; (10.2.19)
здесь Vj обозначает /-Й собственный вектор матрицы SyJ/2Syxx x s3cx2xy.sy^/2, a Vj обозначает j-й собственный вектор матрицы %xx2^xy^yy%yx^xx2' Если fiy- обозначает j-e собственное число любой из этих двух матриц, то минимальное значение (10.2.16) равно
