Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Читатель может вернуться к § 6.10, где перечислены ситуации, в которых были вычислены различные статистики этой главы. В действительности авторы перечисленных там статей обычно вводили статистики, полагая X (Z) стохастическим рядом. Brillinger, Hatanaka (1970), Gersch (1972) оценивают частные когерентности и спектры.
Очевидно, что выбор X (Z) детерминированным или стохастическим связан с выбором генеральной совокупности, на которую мы хотим распространить выводы, основанные на изучении заданной выборки. К счастью, как мы видели, практическая сторона действий в этих двух случаях не слишком различается, если объем выборки велик.
8.16. Упражнения
8.16.1. При условиях теоремы 8.2.2 и при S=I докажите, что Ф (X) является функцией с конечными вторыми моментами, имеющей максимальную корреляцию с Y; см. Rao С. R. (1965, стр. 221) и Brillinger (1966а).
8.16.2. Докажите, что при выполнении условий теоремы 8.2.2 условное распределение Y при заданном X — многомерное нормальное распределение со средним (8.2.14) и ковариационной матрицей (8.2.16).
8.16.3. Пусть А ух (X) обозначает комплексный коэффициент регрессии Y (Z) на ряд X (Z), a Axy(X) обозначает комплексный коэффициент регрессии X(Z) на Y (t) при s = г = 1. Покажите^ что
АУх(Х) AxYiX) = \RYx(X)\2.
Следовательно, Axy (X) = Аух (^)"1 только в том случае, когда когерентность между X (Z) и К (Z) равна 1.
8.16.4. Если А (к)—комплексный коэффициент регрессии Y (Z) на ряд X (Z)— постоянен при всех X, то покажите, что он равен обычному коэффициенту регрессии Y (Z) на X (Z).
8.16.5. Пусть P(I)1 Z=O, ± 1, — белый шум, т.е. стационарный второго порядка процесс с постоянным спектром мощности, а X (t)=^ub — и) Р(й), У (O = ^uC (t-и) р (и). Определите A(X)1 Ф (X)1 G(X)1 RYx(X) и \RYx(X)\2-
8.16.6. При условиях теоремы 8.3.1 и при s = 1 докажите, что \ Ryx(X)\2—Ь — оо < X < со, тогда и только тогда, когда Y(Z) получается из X(Z) применением линейного фильтра.
8.16.7. Пусть выполнены условия теоремы 8.3.1 и s = г = 1. Определите когерентность между Y (Z) и его наилучшим линейным прогнозом, основанным на X (Z). Найдите также когерентность между рядом ошибок є (Z) и X (Z).
8.16. Упражнения
357
8.16.8. При предположениях предыдущего упражнения докажите, •4To RyX(X) и \ Ryx(X) \2 окажутся преобразованиями Фурье абсолютно суммируемых функций, если fxx (X) Ф 0, f yv (X) 7=0, — 00<Л<00.
8.16.9. Если Y (t) = XH(/), то докажите, что Ф'(К)=п/2, Найдите Ф (X) в случае Y (t) = XH (t — u), где «—целое.
8.16.10. Докажите, что
[cor { X (О, Y (О}]2 - cYX (O)VlCXX (0) Суу (0).] ^
< j I Ryx(*) I2 /*хj /и(а) **<
<sup|#KX (а) I2
а
при r = s=l.
8.16.11. Докажите, что | Ґух (X) |2 = /хх (X) Iyy (X), и поэтому I I yx (X) \2/[1хх (X) Iyy (X)] при r = s=\ не является приемлемой оценкой для I Ryx(X) ^
8.16.12. Докажите, что "
(T) (T) 1/
так что [/Yy (X)/fxx (X)] , как правило, не будет хорошей оценкой для G (X) при г = s= 1.
8.16.13. Выясните, почему X(O и F (р могут иметь когерентность 1 и тем не менее при этом не обязательно I Ryx (X) \2= 1.
8.16.14. Допустим, что мы.оценили матрицу спектральной плотности \zz(X) вторым выражением в (8.5.4) при т = Т—1. Покажите, что
(X) = C^k(O) сТхф)-1,
и если г = s = 1, то
I RTx (X) 1«=» С<Й(0)2
(t) /ЛЧ (Г) /ЛЧ CXX (0) cyy (0)
Рассмотрите, какое воздействие на эти выражения окажет предварительное запаздывание Y (t) на и единиц времени по сравнению с X (t).
8.16.15. Если выполнены предположения § 8.6 и W (a) ^sO, a r = s=\, то докажите, что | Ryx (X) |2<i 1.
8.16.16. При условиях теоремы 8.7.1 и r = s=l докажите, что
lim B7T D Re AW (X) = lim ВТТ D Im AW (X) =
7-> оо 7-> оо
= [1 + Л {2X} ] fry (X) /и (X)-I [1-І Ryx (Я) H я J W (а)« da,
в то время как
ИтЯгГс^{1?еЛ<г>(А,), Im Л(X)} =0.
7"—> OO
8.16.17. Пусть к предположениям упр. 8.16.16. добавлено условие fYX (X)фО. Покажите, что
^ {G^) (Я), G^)ai)} = [ri{X-^} + ti{X + ^}]
X/rr (X) fxx(X)-1 Bt1T-1Ti j W (a)2 da+O (Bf2T~2).
8.16.18. Пусть выполнены условия теоремы 8.8.1 и, кроме того, r = s=l. Покажите, что Ф<г> (X) асимптотически равномерно распределена на (—я* зг], если fYx (X) Ф 0.
8.16.19. Получите выборочные аналоги ряда ошибок 8 (/) и выражения (8.3.8).
8.16.20. При условиях теоремы 8.7.1 покажите, что при r = s=l w { Re R$x (Xh Re Ryx Qi)} = h {X-\i} + r\ {X + [i}]
, X [1-(Re Ryx(X))2] [1-І Ryx M I2I Bf1T^n J W(«)¦ da,
{Re RTx (X)1 Im Rpx =-[т] {X —|x}—л {X + |i}J
X [Re (X) ] [ Im (X)] [ 1 — I RYX (X) I2] ^1^^ (a)» <ft%,
c^{Im /?? (X), Im /?? (Ц)} = [T] {X-H)-T] {X + |i}]
X
[1-(Im Лиг(*))2] [1-1% W l2]^?1^-^ J Г (а)Ма.
8.16.21. Проверьте, что в отличие от безусловного значения 4Ryx (1 —RYx)In {Hooper (1958)] условная дисперсия квадрата выборочного коэффициента множественной корреляции при заданных значениях X приближенно равна
2Я2х (2-R2YX)(I-RyX)
п
если выполнены условия теоремы 8.2.3.
8.16.22. Для случайной величины с плотностью распределения (8.2.56) проверьте, что Е\$ух\2 = г/п и
