Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
В
C = [Vi
-VJj
Вт
(9.2.18)
(9.2.19)
(9.2.20)
у сигио j-й uvuuffLOcnnoiu всъгіlu/j ^ХХ> І = 1 > •••» Если |1у
обозначает соответствующее собственное число, то экстремальное значение (9.2.17) равно
її = (хх-СВ(іх,
еде V/ есть j-й собственный вектор
j>
(9.2.21)
Отметим, что так как 2ХХ —эрмитова и неотрицательно определенная матрица, то все |Ху неотрицательны. Степень аппрок-к симации непосредственно зависит от того, сколь близки к нулю числа Цу, / > q. Мы пришли к аппроксимации X вектором
TLixH-A (X -(Ix), (9.2.22)
.где _ _
A= V1VI+.,.+V^VJ. (9.2.23)
Ранее мы сталкивались с подобной ситуацией в теореме 4.7.1.
. В связи с теоремой 9.2.3 приходим к изучению величин
?y = VJX, / = 1, г. Они называются главными компонентами
вектора X. Если X имеет распределение (О, 2ХХ), то
?ї> tr буДУт независимыми величинами с распределением
'tff (0, Иу). /= 1»
Теперь оценим параметры, характеризующие распределение
вектора X. Пусть X7-, /=1, zz, образуют выборку из распределения (О, 2ХХ), а х определяется выражением (9.2.9). Тогда в качестве оценки для 2ХХ возьмем
2« = IT- (9-2.24)
Матрица 2ХХ имеет комплексное распределение „Уишарта. Обозначим ее собственные числа и собственные векторы соответственно как \ij и Vy, / = 1, ...., г. Эта матрица эрмитова и неотрицательно определена, поэтому jxy- неотрицательны. Справедлива
Теорема 9.2.4. Пусть величины X1-, Xn представляют
собой выборку из распределения (О, 2ХХ). Предположим, что все собственные значения матрицы 2ХХ различны. Тогда величина {(!у, Vy, j = 1, ..., г \ асимптотически нормальна и {(у, / = 1, ..., г} асимптотически не зависит от {Vy*, 7=1, г}. Асимптотические моменты выражаются формулами
EjLy = ^ + 0(/1-1), (9.2.25)
EVy = V7^O(ZZ-1), (9.2.26)
cov{Иу> |їЛ} = 6{/-Л}|г|//і + 0(/і-?), . (9.2.27)
—> . (|ь S"|ii(|i/ —ii/J-SV.VJ/^ + Or/i-"), / = ft,
cov {Vy, VJ = J1*' /^7 ^ v^ ™ і // -г v /»і '(9.2.28)
I 0(zz-2), * /VV
^v{V/, %} = { ~Wf(b-H)-^>yVn + 0(n-% іФк {9 2 29)
\ (/(ZZ-), ] — к,
при j, ft = 1, . . ., Г.
Теорема 9.2.4 основывается на двух фактах: собственные значения и собственные векторы матрицы 2ХХ являются диффе-
ренцируемыми функциями матричных элементов и при п —+ оо Ъхх асимптотически нормальна; см. Gupta (1965). Выражение (9.2.27) показывает, что
D In(I7 =1 + 0 (/г*). (9.2.30)
В полной аналогии со случаем действительного X можно рассмотреть аппроксимацию распределения величины [і,, посредством
-?=. (9.2.31)
Особенно хорошим приближение (9.2.31) оказывается тогда, когда недиагональные элементы 2ХЛГ малы, а диагональные элементы заметно отличаются друг от друга. Точное распределение (X1, \ir в комплексном нормальном случае нашел James (1964). Из выражения (9.2.29) при j = k видно, что асимптотически V;. имеет комплексное нормальное распределение. Кроме того, мы заключаем на основании (9.2.28), что разброс Vy будет велик, если некоторые из [ху- очень близки по величине.
9.3. Ряды главных компонент
Вернемся к задаче отыскания г-компонентного вектора jx, ^xr-фильтра {Ь(и)\ и rx^-фильтра {с(и)\, таких, чтобы оказался мал по величине r-мерный ряд
Х(0-»а-2с(*-и)2(и), (9.3.1)
и
где ряд
l{t) =2]Ь(*-и)Х(и). (9.3.2)
и
Если в качестве меры величины ряда взять
(9.3.3)
то ответ содержит
Теорема 9.3.1. Пусть X(t), / = 0, ±1, есть г-мерный
ряд, стационарный в широком смысле,, сх — его среднее, схх(и) — автоковариационная функция, являющаяся абсолютно суммируемой, a f хх (К), — оо < А, < оо, — матрица спектральной плотности. Тогда (9.3.3) минимально при следующем выборе |ы, {Ъ(и)\ и
{C(U)}:
f* = cx— (Sc (и)) (Sb («))?, Ь (и) = (2я)-1 J В (а) ехр {iua} da
(9.3.4) (9.3.5)
2Я
где
с'(а) = (2л)-1 ^ С (а) ехр {ша} da, о
rVjxj*~*
В (Л) =
(9.3.6)
1_Л(Х)Т_
C(X) = [V1 (X)...\q(X)] = B(Xy
(9.3.7)
(9.3.8)
Здесь Vy(X) обозначает \-й собственный вектор матрицы fxx(X), J = I9 ..., г. ?йш |Ху (X) — соответствующее собственное значение (J = I9 г), то минимальное значение (9.3.3) /?авяо
2Я
о l/>« J
da.
(9.3.9)
Эта теорема содержится в статье Brillinger (1969d).
Пусть А (Я) обозначает передаточную функцию фильтра, который эквивалентен последовательному применению фильтра {Ъ(и)\, а затем {с (и)}. Заметим, что
A (K)=C(X)B(X) =
= V1 (X) VjXj"+ ... +V, (X) VjXj' (9'ЗЛ0)
имеет ранг, меньший либо равный q. Допустим теперь, что ряд X(t), / = 0, ±1, обладает представлением Крамера
X(o = j ехр {Ш} dZx(X).
(9.3.11)
Тогда указанному в теореме экстремальному выбору соответствует ряд ?(/), представимый в виде
?(*) = $ B(X) exp{iXt}dZx (X)9
(9,3.12)
где B(A) задается выражением (9.3.7). Для /-й компоненты ?у(t) получается формула
Ij (t) = J v7(X)Texp {iXt) dZx (X). (9.3.13)
Этот ряд называется рядом \-й главной компоненты X(t). Приведем результат относительно рядов главных компонент.