Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
1г Стокгольм Копенгаген
Л_і
X Я Q X Я
-2
Рис. 9.6.1. Логарифмы оценок спектра мощности, построенных усреднением 51 периодограммы, для рядов средних месячных температур (без сезонной составляющей) на разных метеостанциях.
-21-1-1
J_I
J_I
J_I
О Л, Я О Л Я О К Я О X Я
1г-
-1 -
-21-1-1
J_!
О Л Я О X я О X я G X я
1г
-2
J_I
10
J_I
11
J_I
12
J_I
О X я Q X я 0 X 7T- 0 Ля
1Г 13
14
О Л Я О К Я
9.6.2. Логарифмы оценок спектра мощности рядов главных компонент.
Вт
Ah
.г о.
Прирост
Берлин
Копенгаген
Прага
Стокгольм
,6
.4
,2 0
і
.6
А Л
°(
.6 .4
.г
о
і
.0 .4 .2 О
7Г
7Г
Фаза
7г
О -Я
і
*г
)
О
-Я
{
7Г О -7Г
7Г
_I
X .71 w ч cv
Рис. 9.6.3. Оценки прироста и фазы для ряда перюй главной компоненты.
Будапешт
Л г
А
.2
O1
Прирост
(раза
Ае-Билт
А -
.1
О
• • •
Эдинбург
А • •2
О,
_і
Гринвич
Л
А .2 О
Нью-Хей8ен
л
А
• v
Я
Прирост Фаза
Базель
Рис. 9.6.3 (продолжение).
.6
Прирост
Фаза
Вена
О
-t
Берт
о -•v.
.6 Г
Комнтен-1-
.2
Jj
.6 г
* •• •
•••• • •
• •S •
Стокгольм
1 • »
Рис. 9.6.4. Оценки прироста и фазы для ряда второй главной компоненты.
Рис. 9.6.4 (продолжение).
9.7. Упражнения
391
Таблица 9.6.1
Десятичные логарифмы собственных значений матрицы C^(O) (см. табл. 7.8.1)
1.591 1.025 .852 .781 •369 .267 .164 .009 -.121 -.276 -.345 -.511 -.520 -.670
более значительную ошибку и их труднее истолковать. Для Нью-Хейвена прирост имеет заметно большую величину при А, близких к 0. Рассуждения, приведенные в конце § 9.4 и упр. 9.7.7, позволяют предложить два варианта определения приближенных стандартных отклонений этих оценок.
В табл. 9.6.1 приведены значения десятичного логарифма собственных значений матрицы с(хх (0)» содержащихся в табл. 7.8.1. Соответствующие собственные векторы даны в табл. 9.6.2. Эги величины имеет смысл рассматривать, поскольку две указанные главные компоненты имеют явный характер. Изучая табл. 9.6.2, можно заметить, что первый вектор соответствует простому среднему 13 рядов, когда из общего числа 14 исключается ряд для Нью-Хейвена. Второй же собственный вектор соответствует главным образом данным Нью-Хейвена.
9.7. Упражнения
9.7.1 Пусть \ij (А,), /= 1, ..., г, обозначают собственные числа неотрицательно определенной матрицы fxx Пусть vj.7** (А). /=1, ..., г,—собственные числа матрицы
271
^W<T)(k-a)fxx(*)da, о
' I * ' I Il I
її ' і Г і і " і
Г Г і' ' \*і Г її9' . . . . . . . . . .
»9(4 0 0000000 0 0
Il Г " ' l" * " I I
'і ' і і і Г і" * Г Г
NHHNnOfONOqHMInN
* »" Г Г Г Г " Г Г Г ' г г
¦ I I # ' I * f " " I I
. . j J- J- • • J-
N. П Щ *j -1 1 Я 25 ~ <ч *j n я I I Il lilt
I I I I I I I I 1 I I I
ЯІ8313ШШЯ&
I I I ' ' I
mod *фф© t мм
* г гГ * * * г г ' Г Г і Г Г * і' г г * г * г
waeog
гс/ІЇрнпдр
шюд-ву wmwgfig mvozxowQ
H9mHW)j ипуйэд щндд
где WiT) (a) ^s(K Покажите, что
2*
О<V^(AX J (Х-а)р,у (a) da. о
9.7.2. ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО ВЫПОЛНеНЫ УСЛОВИЯ ТеООеМЫ 9.3.1 U ПуСТЬ Cj^v (и)=0
при и Ф 0. Покажите, что фильтры {Ъ(и)}> {с (и)}, определенные в этой теореме, обладают свойством b (^) —0 и с(и)~0 при иф 0.
9.7.3. Покажите, что при выполнении условий теоремы 9.3.1 когерентность рядов Xj (0 и lk (t) равна
9.7.4. Докажите, что E[A/ = fiy+0(л-1/*), /=*=1, ..., г, для величин,
фигурирующих в теоремах 9.2.2 и 9.2.4.
9.7.5. Пусть выполнены условия теоремы 9.4.3. Покажите, что величина Vff (к) распределена асимптотически как Nf (Vpj (K)9 6^.), где
Jt = Bt1T-*2п [ V <«)" *4V (*) S № W [Ц/ W - W W]""21 ^ (W Iі при /, p=\t г.
9.7.6. Воспользуемся оценками теоремы 9.4.3, но предварительна сгладим данные при помощи сглаживающей функции h (t/T). Покажите, что тогда при выполнении условий этой теоремы в формулы для асимптотических ковариации (9.4.15) и (9.4.17) надо ввести сомножитель ^h{t)*dt W2*]* •
9.7.7. Покажите, что при выполнении условий теоремы 9.4.3 log | vffi (X) | и arg {vffi (X)} асимптотически распределены как независимые нормальные величины, т. е. соответственно как N ^log J Vpj- (X) |, от I Vpj (X) |w2j
и N ^ arg {Vpj (X)}, j °т I Vpj (К) |"2^ ; параметр распределения вт тот же, что и в упр. 9.7.5.
9.7.8. а) Покажите, что если оценку (9.4.19) сгладить по всему диапазону частот, то предложенная техника анализа сведется к обычному анализу главных компонент выборочной ковариационной матрицы (0).
Ь) Пусть гауссовский ряд X (/), t— 0, ± 1, удовлетворяет услеви» 2.6.2(1), a fiy, Vy, /—1, г,—собственные значения и векторы матрицы