Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее распространены таблицы значений функций. Если функция у зависит от одного аргумента х, то простейшая соответствующая
1 В атом параграфе дано описание простейших вычислительных средств и
машин. Описанию современных быстродействующих счетных машин посвящена глава XIV. Ввиду недостатка места мы не касались также графических методов вычислений. § 2. Простейшие вспомогательные средства вычислений
339
ей таблица имеет форму
X У
Xl Vl
X2 Ун
Xn Уп
(17)
Это — так называемая таблица с одним входом1. Из нее могут быть непосредственно взяты значения, отвечающие только табличным значениям х. Значения, отвечающие нетабличным х, находятся при помощи различного рода интерполяционных формул, о которых говорилось в главе XII2. Соответственно в таблицы часто вносят, помимо значений функции, значения вспомогательных величин, облегчающих выполнение интерполирования. Обычно это бывают значения первых или вторых разностей. Более специальные таблицы требуют специально продуманного выбора интерполяционных формул и включения в таблицы соответствующих данных.
При табулировании функции двух аргументов и = / (х, у) ее значения обычно размещаются в таблицу с двумя входами хну, схема которой имеет вид
X У Vi і Vi I I К, .,.
І і 'I
X1
хп
U11 "21
Unl
И»2
: «im (17')
і Uam
Unm
Каждый столбец такой таблицы представляет собой таблицу с одним входом, и таблица (17') является объединением многих таблиц вида (17). Объем таблицы функции двух аргументов бывает, как правило, много больше объема таблиц функций одного аргумента с таким же шагом изменения независимых переменных. Ввиду этого функции двух аргументов табулируются значительно реже, чем функции одного аргумента.
1 Столбец, занимаемый таблицей, может иметь большую длину. Для размещения его в печати столбец разделяют на ряд частей и группируют их тем или иным образом. Однако и в этом случае попрежнему говорят о таблице с одним входом.
2 Интерполирование, как правило, будет тем сложнее, чем реже табличные значения Xi, и тем легче, чем х( взяты ближе друг к другу. Требования же к быстроте интерполирования могут быть самыми разнообразными. В таблицах, предназначенных для стрельбы, весьма желательно, чтобы интерполирование выполнялось почти мгновенно, «на глаз». В таблицах же повышенной точности, предназначенных для научных расчетов, допустимо интерполирование, требующее ряда операций.
22* 832 Глава XIII. Приближенные методы, и. вычислительная техника
Насколько быстро может расти объем таблицы с увеличением числа аргументов, показывает* следующий простой расчет. Пусть требуется табулировать функцию четырех аргументов f(x, у, z, t), причем каждый аргумент принимает всего 100 значений. Допустим, что функцию нужно вычислять с малой точностью — только на три значащих цифры. Если бы при таких условиях табулировалась функция одного аргумента, вся таблица значений состояла бы из ста трехзначных чисел и легко размещалась бы на одной странице.
Но в1 таблице с четырьмя входами для функции t мы будем иметь IOO4 комбинаций из значений х, у, z, t и столько же значений /. Отсюда легко подсчитать, что таблица заняла бы более 300 томов.
По причине большой громоздкости таблиц, функции многих аргументов'табулируются в редких и особенно простых случаях. В последние годы начато систематическое изучение классов функций многих переменных, для которых могут быть составлены таблицы с числом входов, меньшим числа аргументов. Одновременно начата разработка правил возможно более простого конструирования такого рода таблиц.
Приведем простейший пример такой функции.
Пусть требуется табулировать функцию и трех аргументов х, у, г, имеющую следующее строение
и=/[<P(ж, у), г].
Совершенно ясно, что здесь можно ограничиться двумя таблицами с двумя входами, если ввести вспомогательную переменную t = ®(x, у) и представить и как сложную функцию
u = f(t, z), t = (р (ж, у).
Для удобства же пользования этими таблицами их можно объединить следующим способом. Рассмотрим функцию t = <р (ж, у) и решим это уравнение относительно у
у = Ф{х, О-
'Принципиально говоря, безразлично, какую из функций г = <р(ж, у) или у = Ф(х, t) табулировать, но нам удобнее табулировать вторую ия них. Построим две таблицы б двумя входами для функций у = Ф(х, t) и: и = f (t, z) и объединим их так, как указано на схеме:
Л, зс, Xi t «2 ... г»
Vi h ч 1J "У* ji 2. Простейшие вспомогательные средства вычислений
Sil
Нахождение значения и, соответствующего заданным значениям. Xil Uj, Zkt выполняется так: находим столбец, помеченный числом Xi, и, двигаясь вдоль него, отыскиваем значение уj (или близкое к нему). Вдоль горизонтали против него будет стоять соответствующее значение t. Если двигаться дальше вдоль этой горизонтали-, то в столбце Zk мы найдем нужное нам значение u=f(x{, Уі, zk).
В этом примере, вместо составления таблицы с тремя входами, оказалось достаточным ограничиться двумя таблицами, о двумя входами с простым правилом для операции с ними.
