Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 132

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 157 >> Следующая


Таблица 2

X Значения точного решения Значения приближенных решений, вычисленных
ло формуле (14) j по формуле (15)
0,00 1,0000000 1,0000000 1,0000000
0,01 1,0100502 1,0100000 1,0100502
.0,02 1,0202013 1,0201000 1,0202012
0,03 1,0304545 1,0303010 1,0304553
0,04 1,0408108 1,0406040 1,0408070
0,05 1,0512711 1,0510100 1,0512899
0,06 1,0618365 1,0615201 1,0617431
0,07 1,0725082 1-,0721353 1,0729726
0,08 1,0832871 1,0828567 1,0809789
0,09 1,0941743 1,0936853 1,1056460
0,10 1,1051709 1,1046222 1,0481559
0,11 1,1162781 1,1156684 1,3996456
0,12 1,1274969 1,1268250 —0,2808540

Приближенные значения решения, найденные по формуле (15), на-нескольких первых шагах точнее результатов, полученных методом ломаных линий. Но неустойчивость формулы (15) уже через небольшое число шагов сильно искажает приближенные значения ук и приводит .к числам, весьма сильно отличающимся от истинных значений ук. § 1. Приближенные и численные методы

82&

Выбор вычислительного метода. Всякие вычисления в конечном итоге могут быть приведены к выполнению четырех арифметических действий — сложению, вычитанию, умножению и делению. Указать метод вычисления это значит указать, какие следует взять исходные данные для начала вычислений и в каком порядке и какие арифметические действия нужно выполнять, чтобы получить желаемые результаты, Мы хотим на примере очень простого подсчета показать, как много в организации вычислений зависит от опыта и осведомленности математика, на обязанности которого лежит подготовка вычислений, и каких результатов можно достигнуть, если воспользоваться специальными, целесообразно выбранными вычислительными приемами.

Пусть надлежит решить систему п уравнений с п неизвестными ¦®it -?' • • •' х»

aUxI + °12Х2 + • • • + а\пХп = >

fHixI ~Ь fHsrZ • • • -Ь а2яхп —

ап\х\ ая2ж2 • • • "Ь аппхп — Ь„ ¦

В теории алгебраических систем (глава XVI, § 3) дается явное выражение значений неизвестных через определители

ъ= 4- (/=1.2—»)• (ів)

Здесь Д есть определитель системы

ап aVi ¦ ¦ V
А = а2\ O22 . • а2 п
. я«« яя

a — определитель, получающийся из Л путем замены в нем /-го столбца на столбец свободных членов системы.

Предположим, что мы захотели бы воспользоваться формулами (16) для решения системы и начали вычислять определители на. основании их обычного определения, не прибегая ни к каким упрощающим приемам. Какое число операций умножения и деления мы должны будем для этого сделать? (Сложения и вычитания мы не будем принимать во внимание, как действия более простые.) Нам предстоит вычислить /г —|— 1 определитель порядка п. Каждый из них состоит из /г! членов, причем каждый член есть произведение п сомножителей и для его подсчета потребуется п — 1 умножений. При вычислении всех определителей нам нужно будет выполнить (гс-|-1)гс! (п — 1) умножений. Общее число необходимых умножений и делений будет равно (л2— 1)л!-{-и.

Изберем теперь другой способ решения системы и воспользуемся методом исключений. Схему вычислений, соответствующую этому методу,

22 Математика, т. 2 832

Глава XIII. Приближенные методы, и. вычислительная техника

связывают с именем Гаусса. Найдем X1 из первого уравнения бистемы' ~ _ 6I ?12™ _ _gI" г

Jj л і іЛ/п 1 і • • •

1 аи ап 2 ап

Для этого потребуется п делений. Подстановка х, в каждое иэ следующих п — 1 уравнений потребует п умножений. Исключение X1 и составление системы п — 1 уравнений с неизвестными х2, .. .,хп потребует всего и2 умножений и делений. Продолжая эти подсчеты, найдем, что ДЛЯ вычисления всех значений Xj (j = 1, ..., я) методом исключений

потребовалось бы ^ (2я2-|-9и— 5) умножений и делений. Сопоставим

эти два результата. Для решения системы пяти уравнений в первом случае потребовалось бы 2885 умножений и делений, а во втором только 75. Для системы десяти уравнений число операций будет соответственно

(IO2-I)IO!+10«360000ООО и ™ (2- 102 + 9 • 10 — 5) = 475. Таким

образом, объем вычислительной работы может весьма сильно зависеть от выбора метода счета. При организации вычислительного труда часто оказывается возможным путем рационального выбора метода значительно сократить объем работы.

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ 1

Таблицы. Старейшим вспомогательным средством вычислений являются таблицы. Простейшие таблицы, например таблица умножении и таблицы логарифмов чисел и значений тригонометрических функций, читателю, конечно, хорошо известны. Круг задач, решаемых в практической деятельности, непрестанно расширяется. Новые задачи часто решаются с применением новых формул, либо приводят к новым функциям, поэтому число необходимых таблиц постоянно возрастает.

Каждая таблица, независимо от ее устройства, содержит результаты ранее проделанных вычислений, являясь своеобразной математической памятью. Печатные или рукописные таблицы предназначены для чтения и использования их человеком. Но можно говорить также о таблицах, оформленных специальным образом, например нанесенных на особые перфорационные карты. Они приспособлены для использования при работе счетных машин. Такие таблицы встречаются значительно реже, и мы не будем о них говорить.
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed