Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
, 1, и интеграл заменить квадратурной суммой Симпсона для четырех частичных интервалов [глава XII, § 3, формула (6)], то для нахождения у/с получится следующая система уравнений:
y0 = j [0,083333г/0 + 0,333333г/, + 0,166667г/2 +
+ 0,ЗЗЗЗЗЗг/3 + 0,083333г/4] +0,713619, 832
Глава XIII. Приближенные методы, и. вычислительная техника
Уі =¦ і [0,083333?/0 + 0,354831^ +0,188858^ +
+ 0,4020772/з + 0,107002у4 ] + 0,951980, Уг = А- [0,083333?/0 + 0,377716*/, + 0,214004? +
+ 0,484997г/3 + 0,137393г/4] + 1,261867, Vt = J [0,083333^ + 0,402077^ + 0,242499у2 +
+ 0,585018jrs + 0,176417у4] + 1,664181, [О,083333г/о + 0,428008^ + 0,274787у, +
+ 0,705667у3 + 0,226523^4] + 2,185861.
Система решалась 'методом итерации. За исходные приближения для 3? (A=0, 1, 2, 3, 4) были приняты свободные члены соответствующих уравнений: у<00> = 0,713619, »f=0,951980, ... Найденіше значения последующих приближений приведены в табл. 1.
Таблица 1
Номер приближения Vt Vi Ib Va Vt
1 0,93428 1,20841 1,56129 2,01542 2,59972
2 0,98517 1,26699 1,62905 2,09419 2,69173
3 0,99667 1,28021 1,64433 2,11194 2,71245
4 0,99926 1,28319 1,64778 2,11595 2,71713
5 0,99985 1,28386 1,64856 2,11685 2,71818
6 0,99998 1,28402 1,64873 2,11705 2,71842
7 1,00001 1,28405 1,64877 2,11710 2,71847
Значения точного
решения 1,00000 1,28403 1,64872 2,11700 2,71828
В конце табл. 1 для сравнения указаны значения точного решения. Дальнейшие приближения не улучшили бы найденные значения ук. Расхождение в последних знаках ук определяется влиянием погрешности от замены интеграла квадратурной суммой.
Устойчивость метода. Вычисления предъявляют к теории приближенных [методов еще одно общее требование, о котором необходимо упомянуть ввиду его большого значения. Это — требование устойчивости вычислительного процесса. Суть дела здесь заключается в следующем. Каждый приближенный метод приводит к некоторой вычислительной схеме. Часто оказывается, что для получения всех нужных чисел необходимо проделать длительный ряд шагов вычислений по этой схеме. Вычисления на каждом шаге выполняются не совсем точно, § 1. Приближенные и численные методы
82&
а только на определенное чиело значащих цифр, и поэтому на каждой шаге мы совершаем некоторую малую погрешность. Все такие погрешности будут сказываться на последующих результатах.
Принятая вычислительная схема может оказаться настолько неудачной, что малые ошибки, допущенные в самом начале расчетов, по мере продвижения в вычислениях будут оказывать на результаты все более и более сильное влияние и в далеких частях вызовут сильные отклонения от точных значений.
Пусть речь идет о численном решении дифференциального уравнения
y'=f (я, у)
,при начальном условии у (X0) = у0, и (пусть требуется найти значения у(х) для равноотстоящих значений а» = а?0&Л (А = 0, 1, ...).
Предположим, что вычисления начаты, доведены до шага л и составлена. таблица
X V ** к і
Xq У« t у.
«1 Vi Г У,
Уя-І У'п-1
У. Vn
Мы должны найти теперь уп+1. В методе ломаных линий Эйлера приближенно полагают
Здесь уп+1 находится только по числам у„ и у'п, которые помещаются в последней строке таблицы. Выскажем пожелание увеличить точность нахождения уп+1 и воспользуемся для этой цели данными двух последних строк. Тогда может быть построена вычислительная формула
Уп+1 = -Ч + Ч-! + h (К + Ч-гУ <15>
Заметим, что если вычислять абсолютно точно, т. е. с бесконечным числом значащих цифр, то формула (14) будет давать верный результат каждый раз, когда функция у ееть линейный многочлен, тогда как формула (15) будет верной для всяких многочленов до третьей степени включительно. Казалось бы на первый взгляд, что результаты, полученные при применении формулы (15), должны быть более точными, чем найденные по методу ломаных линий. Однако легко видеть, что 832
Глава XIII. Приближенные методы, и. вычислительная техника
¦формула (15) непригодна для вычислений, так как ее применение может -вызвать быстрый рост погрешности.
Значения производной у'п и у'п_х содержат малый множитель h, и потому погрешности в этих значениях будут оказывать меньшее влияние, чем погрешности В уп И Будем для упрощения считать, что значения у' находятся точно, и при наблюдении за общей погрешностью не принимать их в расчет. Предположим, что при нахождении у„_х мы допустили ошибку -f-s, а при нахождении у„ ошибку —е. Тогда, как показывает равенство (15), в уп+1 мы сделаем ошибку величины +9s. В уп+2 ошибка будет —41є и дальше будет быстро возрастать. Формула (15) приводит к вычислительному процессу, неустойчивому относительно погрешностей, и должна быть отброшена.
Приведенный ниже пример достаточно убедительно показывает, к сколь сильному искажению результатов может привести неустойчи--вость вычислительной схемы. Решалось дифференциальное уравнение у' = у при начальном условии у0 = 1. Точное решение есть у=.ех. Для численного решения были -приняты равноотстоящие-значения независимой переменной X с шагом A = O,01, т. е. xk = 0,01 к. Приближенные решения вычислялись двумя способами: по методу ломаных линий (14) и по формуле (15). Для сравнения в табл. 2 даны значения точного решения на семь десятичных знаков.
