Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
11 1
ряда, вычислив сумму sn = --+ .., ± — достаточно большого числа п его
первых членов. Но можно подсчитать, что для вычисления In 2 с погрешностью, меньшей половины пятой значащей цифры, пришлось бы взять более 100 000 членов ряда. Найти же сумму такого числа слагаемых, если пользоваться, например, только настольными счетными машинами, было бы весьма трудно. Известен также ряд
J____1 1-3 1 • 3 • 5 . 1 • 3 • 5 • 7_
2-11 + 22 . 2! 23 . З! + 2* ¦ 4!
... 1
Он сходитея настолько медленно, что для вычисления нри поиоИЯ его —
с точностью до Ю-5 нужно было бы ваять примерно IO10 «шшш, что с трупом выполнимо даже на быстродействующих машинах. § 1. Приближенные и численные методы
82&
Недостаточно быстрая сходимость есть один из признаков, по которому обычно судят о недостатках метода. Но этот признак, разумеется, не единственный, и при сравнении методов должны быть приняты во внимание еще многие стороны вопроса, в частности удобство проведения вычислений на машинах. Из двух методов иногда предпочтение приходится отдавать методу с несколько более медленной сходимостью, если вычисления по этому методу легче могут быть осуществлены на счетных машинах.
Погрешность, получающаяся при замене х на приближенное значение хп, равна разности х — х„. Точное значение ее неизвестно, и для того,, чтобы судить о скорости сходимости, абсолютную величину разности; оценивают сверху, т. е. строят величину An такую, чтобы было
Iх хп I ^
и называют ее оценкой погрешности. Ниже мы приведем примеры оценок An. По тому, как быстро убывает оценка An при возрабтаццц п, судят обычно о быстроте сходимости хп к х. Чтобы оцецка отражала действительную степень близости Xn к х, нужно, чтобы An мало отличалась от | х — хп\. Кроме того, оценка А„ должна быть эффективной, т. е. такой, чтобы ее можно было на самом деле найти, иначе она не сможет быть использована.
Пусть X есть численная переменная величина и ее значение нужно определить из некоторого уравнения. Предположим, что уравнение нами приведено к виду
х = у(х). (8).
Применим к решению этого уравнения метод итерации. Его часто называют также методом последовательных приближений. Для пояснения самого метода и связанных с ним оценок остановимся на случае одного численного уравнения. (Этот метод применяют также к системам численных уравнений, к дифференциальным и интегральным уравнениям и во многих других случаях. G применением этого метода к обыкновенным дифференциальным уравнениям читатель встречался в главе V, § 5.)
Будем считать, что мы каким-либо путем нашли приближенное значение х0 для корня уравнения. Если бы X0 было точным решением уравнения (8), то после подстановки его в правую часть 9 (х) уравнения мы должны были бы получить результат, равный х0. Но так как х0, вообще говоря, не совпадает с точным решением, результат подстановки б)дет отличаться от х0. Обозначим его через X1 = ^(X0).
Чтобы установить, в каком случае x1 будет ближе к точному решению, нежели х0, обратимся к геометрическому содержанию нашей задачи. Рассмотрим функцию
У=? И- (9) 330
Глава XIII. Приближенные методы и вычислительная техника
Возьмем числовую ось и условимся X и у изображать точками этой оси. Равенство (9) каждой точкр х ставит в соответствие некоторую точку у той же оси. Его можно рассматривать как правило, дающее точечное преобразование числовой оси на себя.
Зададим на числовой оси отрезок [хх, х2]. При преобразовании (9) точки X1 и X2 перейдут в точки
Уі = <р(яі) и г/2 = <р(ж2).
Отрезок [xv х2] перейдет в отрезок [^1, у2]. Отношение
будет «коэффициентом растяжения» отрезка при преобразовании. Если то будет происходить сжатие отрезка.
Возвратимся к уравнению (8). Оно говорит о том, что искомая точка X после преобразования ,(9) должна перейти в себя. Поэтому решение уравнения (8) равносильно нахождению таких точек числовой оси, которые при преобразовании (9) переходят в себя, т. е. остаются неподвижными.
Возьмем теперь отрезок [х, хй], один конец которого лежит в неподвижной точке х, а другой — в точке х0. При преобразовании X0 перейдет в X1 и отрезок [X, х0] — в отрезок [х, X1]. Если функция <р такова, что при преобразовании (9) происходит сжатие любых отрезков, точка X1 будет, наверное, ближе к корню уравнения (8), чем х0.
Желая получить приближения, сходящиеся к точному решению (8), -будем выполнять повторно подстановки в правую часть (8) и построим последовательность чисел
X1 = ^(X0), X2 = ^(X1), ..., Хк+1 = <р(х„), .. . (10)
Ниже мы докажем теорему о сходимости последовательных приближений (IO)1.
Предположим, что функция <р (х) задана на некотором отрезке [а, Ь] я равенство (9) дает преобразование [а, 6] на себя, т. е. при всяком х, принадлежащем [а, 6], у = <р(х) будет также принадлежать [а, 6]. Будем также считать, что исходное приближение X0 берется на [а, Ь]\ все последовательные приближения (10) тогда будут также лежать на отрезке [а, 6]. При этих условиях справедлива следующая теорема. Если <р(х) имеет производную 9', удовлетворяющую на [а, Ь] условию
