Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для приложений этого достаточно, так как знание точного Значения какой-либо величины часто не является необходимым. В технически* вопросах, например, искомые величины обычно служат для определения размеров и других параметров изделий, подлежащих изготовлений*. Всяйое же изделие изготовляется лишь приближенно, и поэтому технические расчеты с точностью, превосходящей «допуски», принятые для изделия, очевидно, не имеют значения.
Вычисления поэтому нет надобности производить по абсолютно точным формулам, а для отыскания требуемых величин нет надобности решать абсолютно точные уравнения. Точные формулы и уравнения допустимо заменять заведомо неточными, если они настолько близки к ним, что имеется уверенность, что ошибка, происходящая от таїКой замены, не превысит заданной границы.
Позже мы вернемся к указанной здесь возможности замены Одни! Задач другими. Сейчас же мы хотели подчеркнуть первую особенность вы-числ ктельных методов — оща по самому своему характеру могут дать, как правило, только приближенные результаты, а только такие результаты и нужны для практики.
'Обратим внимание также на другую черту численных методов математики. При любых вычислениях Можно производить операции только с конечным числом чисел и после вычислений получить лишь конечное число результатов. Поэтому каждая задача, которую мы предполагаем решать численным путем, должна быть предварительно приведена к "такому виду, чтобы можно было получить все результаты после каяеяного числа арифметических действий. Если мы выполняем вычисления по какой-либо формуле, То ее следует заранее преобраваьять так, чтобы в ней осталось лишь конечное число членов с Конечным числом параметров. Известно, например, что весьма многие функции могут быть представлены в виде суммы степенного ряда
/ (ж) = C0 + C1X + C2X2 + ¦
(1) § 1. Приближенные и численные методы
82&
'Гак, функция від ж, где под х понимается радианцая мера, угла, может быть разложена в стеленной ряд
__ X X3 . Xі
sina; — "зГ + ЗГ
Чтобы найти точное значение / (х), мы должны были бы выполнить суммирование «всех» членов ряда (1), что, вообще говоря, невозможно. Чтобы найти f(x) приближенно, достаточно взять только некоторое конечное число членов ряда. Например, как это можно показать, для вычисления sin X с точностью до IO-5 для углов от нуля до половины прямого угла достаточно в степенном ряде сохранить члены до ж5 вклю-
Я? <j5
чительно И приближенно заменить Sin Ж МНОГОЧЛЄНОМ-^j---g|--1—gj- .
При численном решении задач математического анализа, в которых нахождению подлежит некоторая функция, приходится тем или иным способом заменять эту задачу другой задачей о нахождении нескольких численных параметров, знание которых позволяет приближенно вычислить неизвестную функцию. Поясним это на примерах.
Пусть на отрезке а^х^Ь нужно решить граничную задачу для дифференциального уравнения
L(y)-f(x) = y" + p(x)y' + q(x)y-f (х) = 0 (2*
с граничными условиями у (а) = 0, у (Ь) = 0. В одном из возможных приемов решения, в методе Галеркина, исходят из некоторой системы линейно независимых функций M1 (ж), W2 (ж),..., удовлетворяющих граничным условиям (глава VI, § 5). Такую систему выбирдют «полной» в том смысле, что среди интегрируемых на [а, 6] функций ортогональной ко всем Mt (к = 1, 2,...) будет только функция, равная нулю во всех (точнее, «почти во всех») точках. Условие то,го, что У Or) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2), можно записать в форме требований ортогональности ь
\[L(y)-f],4dx = 0 (к= 1,2,...). (3)
а
Допустим, что решение задачи можно разложить в ряд по Mt
У (X) =± CI1M1 (ж) + Ci2 M2 (ж) -)-... (4)
Нахождению здесь подлежат коэффициенты ак. При произвольных ак сумма ряда (4) будет удовлетворять граничным условиям. Остается выбрать ак так, чтобы выполнялись равенства (3). Коэффициентов ак бесконечное множество, и вычислить их все, вообще говоря, невозможно. Для упрощения сохраним в правой части (4) лишь конечное число слагаемых и положим приближенно
У (я) ^ Cl1 M1 (ж) + . . . + ап <•>„(*)• (5) 326
Глава XIII. Приближенные методы и вычислительная техника
Удовлетворить равенствам (3) для всех <ot(ft = l, 2,...) мы не сможем, так как располагаем только п произвольными параметрами at (ft= I1..., п). Поэтому мы вынуждены отказаться от точного решения дифференциального уравнения (2). Но следует ожидать, что сумма (5) будет удовлетворять этому дифференциальному уравнению с малой погрешностью, если п будет взято достаточно большим и условие (3) удовлетворено для п первых функций (Ot. Это приводит к уравнениям, фигурирующим в методе Галеркина
Найдя из этих уравнений ак, мы построим приближенное выражение для функции (5).
Аналогично упрощаются формулы при решении вариационных задач по методу Ритца, в приближенном гармоническом анализе функций и во многих других вопросах.
Мы укажем еще один пример упрощения уравнения. Пусть нужно найти функцию у от одного или нескольких аргументов путем решения какого-либо функционального уравнения, например дифференциального или интегрального. В качестве параметров, определяющих функцию у, может быть выбрана совокупность ее значений yv у%....... в некоторой системе точек (на сетке).
