Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
то справедливы следующие утверждения. Уравнение (8) имеет корень х*
1 Эта и другие сходные с ней теоремы, ввиду указанного выше геометрического смысла, часто называются в математике теоремами о ежатых преобразованиях. § 1. Приближенные и численные методы
82&
на отрезке [а, Ь]. Последовательность (10) сходится к этому корню, и
быстрота сходимости характеризуется оценкой
|**-*„|<г
где т = \х0 — <р (жп) \ = \хп — X1I- Уравнение (8) имеет на [а, Ь\ единственный корень.
Чтобы доказать эти утверждения, оценим разность X2 — X1. Если воспользоваться формулой Тейлора [глава IIi (том 1), § 9, (26)], полагая в ней п = 0, мы получим
X — X1 = <р (X1) — <р (S0) = <р' (?0) (ж, — х0).
Точка E0 лежит между X1 и х0 и заведомо принадлежит отрезку [а, Ь\. Поэтому |<р'(?о)К? и
i х2 — xi к яi xi — xo i = тя-
Аналогично
I х3 — х2 I = I <Р (?) — <р (Жі) I = I ?'(5l) (х2 — xl) I <9 I xi — xi І < mq2'
Продолжая такие оценки дальше, найдем, что при всяких значениях п выполняется неравенство
|жи+1 — ж„|<тд\ (И)
Установим теперь сходимость последовательности хп. Для этого рассмотрим вспомогательный ряд
^0 + (^1-^0) + (?-?)+ • • • +(®„ —і)+ • • • (12)
Частичная сумма п-\- 1 первых его членов равна
5к+1 = ха + (xI ' хо) + • • • + (Жи хп— і) = Хп *
Поэтому Iim s„+1 = Iim хп и существование конечного предела у хп равно-
M OO И OO
сильно сходимости ряда (12). Сравним ряд (12) с рядом
KI + ™+™?+ ... +mq«-1+ . .. •
Ввиду оценок (11) члены ряда (12) по абсолютной величине не больше соответствующих членов последнего ряда. Но этот ряд, если в нем исключить первый член I а;0|, является геометрической прогрессией со знаменателем q, и, так как q<^ 1, ряд сходится. Ряд (12) поэтому будет также сходящимся, и последовательность (10) будет сходиться к некоторому конечному пределу X*
Iim Xn = х*.
и->ш
Очевидно, х* приядощежит отрезку [а, Ь], так как ему принадлежат все хп. 832
Глава XIII. Приближенные методы, и. вычислительная техника
Если в равенстве жк+1 = <р(яя) перейти к пределу при л-*оо, то в пределе получится равенство х* = ср (х*), показывающее, что х* действительно удовлетворяет уравнению (8). Оценим теперь близость хк к х*. Возьмем Xn и любое следующее приближение хп+р
I хя+р хп I = I (хп+р xn+pr-1) (хп+р—1 ха+р—2) • • • ~t~~ (xn+i хп) I sC < тщ"+*-1 -f тд"+р~2 -f ... -f Tnqu =
_ тдп — mqP+»
— ¦ ¦
Отсюда, при р-* со, ввиду жп+р—>ж* и дп+р —*¦ 0, следует
Ir*_г \ т пп
Х» I ^Sf 1 _ q Ч ¦
Осталось еще проверить утверждение о единственности. Пусть я! есть любое другое решение уравнения на [а, Ь]. Оценим разность of — х*
\х! — ж* | = | <р(ж') — <р(ж*)I = I <р'(?)(xf — ж*)|<?|ж' — ж* |,
Откуда
(1 — q)\x' — ж*К0.
Так Мал 1 — q 0, последнее неравенство возможно только при ^aSf — ж* | = 0. Значит, решение х! совпадает с х*.
ДоМвЛінная теорема не только указывает условия, достаточные для CXdtffcMOCTH метода итерации, но и дает возможность оценить, какое число Ittflt1OB вычислений нужно проделать, т. е. каким нужно взять п, чтобы ИбЛучшъ нужную точность, если точное решение ж* заменить Hd Xn, Ъйк&я оценка эффективна, так как величины т и q, входящие
в неравейсто I ж* — хп | ^ \"—q Ч* на самом Двле могут быть найдены
при помощи исследования функции <р.
Рассмотрим Ъ качестве примера уравнение ж = Atg ж, встречающееся во многих приложениях. Для определенности рассмотрим случай к = 0,5. Пусть нужно найти наименьший положительный корень уравне-1
нияж = "2 tgж. Он должен лежать вблизи точки 1 и быть немного
больше 1, в чем легко убедиться, если воспользоваться любыми таблицами или графиком функции tgж.
Чтобы обеспечить условие фигурирующее в теореме
о сходимости метода итерации, обратим функцию tgж и будем рассматривать уравнение ж = аг^2ж, равносильное заданному.
Приведем результаты вычислений. За исходное приближение было принято значение ж0 = 1. Следующие приближения вычислялись при § 1. Приближенные и численные методы
82&
помощи таблицы функции arctg ж, и для них были найдены следующие численные значения
X1 = arctg 2 =1,10715 X2 =arctg 2,21430 = 1,14660 х3 =arctg 2,29320 = 1,15959 Xi =arctg 2,31918 = 1,16370 X5 =arctg 2,32740 = 1,16498 x6 =arctg 2,32996 = 1,16538
XI =arctg 2,33076 = 1,16550 X8 =arctg 2,33100= 1,16554 X9 =arctg 2,33108 = 1,16555 ж10 = arctg 2,33110 = 1,16556
XII = arctg 2,33112 = 1,16556.
На этом вычисления были прекращены, так как дальнейшие итерации повторили бы все найденные знаки корня
ж* = 1,16556.
Геометрическая картина приближений к корню изображена на рис. 1. Стремление х„ к х* здесь оказалось настолько быстрым, что уже Xi на чертеже ¦сливается с х*.
Приведем еще один пример применения метода итерации. Решим численно интегральное уравнение
y = arttg2x
6 X+ 1
Точное его решение есть у = ех.
Заменим прежде всего интегральное уравнение линейной алгебраической системой. Для этого отрезок интегрирования [0, 1] разделим на
113
четыре равные части точками t = 0, , у , , 1. Значения неизвестной функции у в этих точках обозначим соответственно у0, , у2, у5, . Если потребовать, чтобы уравнение удовлетворялось при ж0 = 0, , у ,
