Аэродинамика осевых вентиляторов - Брусиловский И.В.
Скачать (прямая ссылка):
44
Под действием возникшей вокруг профилей в решетке циркуляции происходит отклонение потока от его направления перед
рСПК'ТКОЙ .
Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы Жуковского. • It
Выделим в плоскопараллельном потоке, обтекающем единицу мшиы плоской решетки (см. рис. 2.1), массу воздуха, ограниченную контрольной поверхностью, проекцией которой на плоскость рисунка являются отрезки 1—V1 2—2\ параллельные фронту решетки, її липни тока 1—2 и V—2Г> отстоящие друг от друга на расстоянии, равном шагу решетки.
Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения секундной массы воздуха равно сумме всех внешних сил, приложенных к этой массе. Внешними силами по отношению к этой массе воздуха будут силы давления в плоскостях 1—Ґ, 2—2' и на поверхностях тока /—2, Г—2\ а также сила реакции со стороны элемента лопатки плоской решетки.
Состояние потока на двух поверхностях тока 1—2 и /'—2* совершенно одинаково, силы давления на эти поверхности равны її противоположно направлены и поэтому их можно не учитывать. Сквозь поверхности /—2 и /'—2' течения не происходит, а значит не происходит изменения количества движения.
Напишем уравнение количества движения для выделенной массы т воздуха: Hi2W2 — Hi1W1 = —R -\- (pL — р2) t.
В проекциях на оси координат и и а оно запишется следующим образом:
ВД« - m:wlu = - Ru; (2.15)
rri?w2a — т,шІв = - Ra + (P1 — р2) t. (2. IG)
В силу уравнения неразрывности Hi1 — m, — т или /рш1а-1 =
«г= tpw\a • 1 — tpwai откуда также следует, что wla = до2а.
В относительном движении энергия к потоку не подводится и уравнение Бериулли запишется в виде
Pi — P2 = pwb'2 — риу?/2 -f Ap0.
После этого уравнения (2.15) и (2.16), записанные для сил, действующих иа профиль в решетке, можно переписать так:
Ru = IpW11(WUi — К»2«), Ra = — р/ (ОУ? — 0УІ)/2 + /Д%
Принимая во внимание, что до? —w% = w\u —w\u + w\a —w\a —
~w\u—w\u, а также значения величин W00n и Доооа [см. (2.6)1, получим
Ru = («lu — Щи) Woo*, Ra= —РІ (Щи — W2u) + *ДРо-
Вычислим циркуляцию по замкнутому контуру /—-2—2'—V—/, обходя его так, чтобы область, ограниченная контуром, все время оставалась слева. Циркуляцию при этом будем считать положительной.
45
Циркуляцию T1 по контуру /—2—2'—Г—/ можно представить так:
г,= } = J+ [ + f + J-
1—2-2'—1'—1 1—2 2—2' 2'-Г У—1
Значения циркуляции на участках контура 1—2 и 2'—очевидно равны и имеют противоположные знаки, так как на двух одинаковых линиях тока скорости равны по величине и направлению, а обходятся они в протпвположных направлениях. Следовательно,
1\= .[-! j. ф
2—2' 1'—1
Из определения циркуляции по формуле (2.14) имеем
t t
Г, = J — w?u dt + J wlu dt = і (wlu — w.lu) (2.17)
U о
Воспользуемся (2.17) и перепишем последние уравнения для R11
И Ra\
Ru = PT1W000- (2.18)
R0 = PT1W0011^tAp0. (2.19)
Выражения pTjWcoa и —Pr1Qi1OOIi являются проекциями на оси координат а и и циркуляционной силы G:
G = /(Pr1BW)* + ( - PT1W001^
или
O = Pr1W«. . (2.20)
Составляющие силы G по прямоугольным осям координат: Gu =
= PV1W0O a, G = — рГіШоо и- ОтНОШеїІНС GjGa = —W00 J^00 и, что
выражает собой условие взаимной ортогональности силы G и скорости ОУсо. '
Выражение (2.20) и составляет теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе, действующей на профиль в решетке, доказанной им для идеальной жидкости.
Как следует из выражения (2.19) и рис. 2.1, величина
Mp0 = R»-G0 = F0 (2.21)
является осевой силой сопротивления профиля в решетке.
Теорему Н. Е. Жуковского для профиля в решетке, обтекаемой вязкой жидкостью, впервые доказал Л.Г. Лойцяпский [25]. Таким образом, па профиль в решетке, обтекаемой вязкой жидкостью, действует циркуляционная сила G Жуковского, направленная нормально к средней векторной скорости потока W00, и осевая сила сопротивления jFu, [направленная нормально к фронтальной линии решетки. Их равнодействующей является сила R.
Если спроектировать равнодействующую силу R на направление скорости W00 и нормальное к ней направление, то получим (см. рис. 2.1) так называемую силу
46
профильного сопротивления R1 направленную по скорости W00, и подъемную силу Л',,, ей перпендикулярную. Эти силы аналогичны силам, действующим на одиночным профиль, обтекаемый потоком со скоростью W00. Между силами G, Fn и R , Rx «•ущсствует простая связь. На основании рис. 2.1 можно записать
G = Rg + Я* ctg ?TO, Fa = Rx/s'm ?o».
По аналогии с одиночным профилем введем коэффициенты подъемной силы % и профильного сопротивления сх, а также коэффициент силы Жуковского ст:
Т? Ih 9W™ г D Ih 9W™ - г -nth pg?> /9 291
in- под #ж и G понимаются, силы, действующие па единицу длины лопатки. Коэффициент обратного аэродинамического качества профиля \iv = cxfcjf= Rx)Ry. Связь между силами Ry и G и между их коэффициентами выглядит так:
R0 = ]ху ctg P00), су = сж/(| + fV ctg ?j.
Доказательство теоремы Жуковского было проведено для ре-тетки рабочего колеса. Точно так же это можно было сделать для рпнеток BHA или СА. Для них получили бы аналогичные выражения.
