Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
49
десятичной запятой в записи результата наблюдения) или иметь сколь угодно большую плотность в отдельных точках. Поэтому корректное решение задачи становится невозможным.
Чтобы получать разумные решения, приходится ставить задачу иначе. Так, в [42, 44] среди методов определенного класса ищется метод определения параметров искомой зависимости, дающий несмещенную оценку при отсутствии грубых ошибок и в некотором смысле наименьшее смещение оценки (математическое ожидание модуля или квадрата отклонения оценки от истинного значения) при наихудшем распределении грубых ошибок. Таким образом, и здесь не удается уйти от проблемы совмещения разных критериев оценки.
Практически приемлемые методы оценки непараметрических зависимостей можно построить, сочетая разные принципы оптимизации. Рассмотрим это на примере задачи интерполяции при наличии случайных ошибок в значениях функции - оценку функции f(X) по результатам наблюдений Yt =f(Xt) + где - случайные ошибки, имеющие одно и то же нормальное распределение с нулевым средним. Здесь можно учесть одновременно требования малости интегрального отклонения и гладкости оцениваемой малости интегрального отклонения и гладкости оцениваемой функции. Приведем три примера возможных постановок:
а) отыскание "наиболее гладкой" зависимости при ограничении на степень правдоподобия случайных отклонений приводит к задаче:
б) отыскание "наиболее гладкой" сепарабельной зависимости f\(X]) + ... +fn(Xn) при аналогичном ограничении (ср. пример 2.1):
При таких постановках необходимо располагать информацией о среднем размере (например, о дисперсии) ошибок наблюдения;
в) использование критериального функционала, построенного инструментальным методом и учитывающего как "гладкость" зависимости, так и наблюдаемые отклонения от нее. Так, применительно к постановке а) можно было бы использовать критерий
Jlf'XXifdX + k^ (Yt - f(Xt))2 => min, отразив в величине к "сравни-
2.8. Сочетание разных принципов
<2(Я = \\f"(XfdX => min, X (Yt - f(Xt))2 ^ D\
f ]\f/(X{)\ JX,=>min;
тельную важность" ошибок наблюдения и гладкости функции..
50
Несмотря на определенный субъективизм, такие постановки приводят на практике к разумным решениям. Более того, оказывается возможным оценивать зависимости и при наличии случайных ошибок в наблюдениях объясняемой переменной. Так, если истинными значениями показателей r-го объекта ГС являются X, и Yt = f(Xt), а наблюдаются величины U, = Xt + и Vt = Yt + г|„ содержащие случайные нормально распределенные ошибки с нулевым средним, можно оценить искомую зависимость, решая оптимизационную задачу
J|/"(X)|2</X + X {kY[Vt-f(Xt)]2+kx[Ut-Xt]2}=>mm с двумя "управ-
7
ляющими" параметрами кх и kY. Особых вычислительных трудностей эта задача не представляет, и ее решением также оказывается некоторый сплайн.
2.9. Принцип максимальной согласованности
Рассмотренные выше принципы оценки зависимостей, несмотря на все их различия, допускают единую трактовку как частные случаи более общего принципа максимальной согласованности (далее - МС-принципа), в соответствии с которым оценка зависимости должна быть наилучшей с точки зрения критерия, отражающего степень ее "согласованности** (или "рассогласованности") с имеющейся информацией. Центральным при этом становится вопрос о разумном выборе измерителя "степени согласованности". Как показано выше, в этом качестве могут выступать и гладкость оцененной зависимости, и величина интегрального отклонения, и значение функции правдоподобия. Сам по себе МС-принцип выглядит достаточно тривиально. В том или ином смысле к возможно большей согласованности своих выводов с имеющейся информацией стремились почти все, занимающиеся поиском чего-либо: от исследователей до следователей. Поэтому данный принцип нельзя рассматривать как нечто абсолютно новое в науке. Однако, обобщая в нескольких направлениях принцип максимального правдоподобия, он позволяет расширить круг методов прикладной статистики. Например, становится очевидным, что структура критерия согласованности определяется характером исходной информации, а отнюдь не удобством вычислений или степенью разработанности математических методов.
При правильно выбранном критерии согласованности он, как и функция правдоподобия, может быть использован также для оценки той модели, которая была принята для описания функционирования объекта (см. пример 2.7). Поэтому выбор вида модели и выбор критерия оценки представляют собой части единого процесса и должны осуществляться согласованно [6]. В примере 2.7, где ошибки подразумевались случайными величинами, этот подход удалось реализовать в полном объеме. Однако возможна и иная ситуация. Пусть, например, влияние "прочих" факторов носит "интервальный" характер и имеются две
51
модели зависимости между Y и X. Первая модель постулирует, что отклонения Y - аХ по абсолютной величине не превосходят 10, вторая - что эти отклонения не превосходят ОДУ. Отыскание наиболее согласованных значений сводится здесь к решению системы неравенств \Yt-aXt\ < 10 для первой модели и \Yt-aXt\ < ОДУ, - для второй. Прежде всего решение здесь может не существовать или не быть единственным. Отсутствие решения, скорее всего, свидетельствует о неадекватности модели. Однако если решения для обеих моделей существуют, но не единственны, все они оказываются "в равной степени" согласованными с имеющейся информацией и неясно, какая модель лучше. Причина этих трудностей - в специфической структуре критерия согласованности, который в данном примере является булевским (согласованность либо есть, либо ее нет). Поэтому надеяться на успешную практическую реализацию предложенного принципа можно лишь тогда, когда критерий согласованности достаточно информативен и чувствителен к изменениям оцениваемых параметров. В этой связи полезно остановиться на указанных в [1. Гл. 6] принципах "выбора общего вида функции регрессии".
