Экономика и организация безопасности хозяйствующих субъектов - Гусев В.С.
ISBN 5-299-00119-3
Скачать (прямая ссылка):
Теория полезности основана на том, что при выполнении достаточно общих условий на множестве исходов G существует функция полезности J[g), gEG, среднее значение которой (математическое ожидание) полностью отражает предпочтения ЛПР и его склонность к риску.
11 Зак. 254
161
В общем случае, если задано множество исходов G = {^1, g2, gn), а каждый из вариантов uyG U характеризуется набором вероятностей P1[Uj) наступления каждого исхода ?Д/=Г7«"), в случае выбора вариантам., математическое ожидание функции полезности
Здесь отождествляются понятия «исход» gt и «случайное значение критерия» K1, а отношение ЛПР к риску учитывается при построении функции полезности.
Если случайный критерий К (исход g) может принимать значение из некоторого интервала, т. е. gG[a,b], то вероятностная характеристика задается либо функцией Fu(g), либо плотностью распределения Wa(g). В этом случае функция полезности./^) также непрерывна, а ее математическое ожидание
В общем случае теория полезности позволяет построить функцию полезности на множестве исходов, причем последние можно оценивать любым образом, но так, чтобы их можно было упорядочить.
Таким образом, в качестве эмпирической системы с отношениями (ЭСО) выступает совокупность возможных исходов G = ten ?2' SJ — носитель системы, а также отношение предпочтения, заданное на этом множестве, такое, что все исходы можно представить в виде ранжирующего ряда в порядке возрастания их предпочтительности:
п
Ь
а
где знак означает большую предпочтительность.
162
Для построения числовой системы с отношениями (ЧСО), гоморфно отображающей ЭСО, в качестве носителя используются шкальные значения полезности исходов fg) (носитель ЧСО), а в качестве отношения — отношение упорядочивания полезностей по значению, т. е. при заданной ранжировке исходов для полезностей должно выполняться условие
где «<» — знак неравенства.
Важнейшее свойство функции полезности — учет отношения ЛПР к риску. Это достигается установлением одинаковой предпочтительности между получением наверняка некоторого (любого из множества G) исхода g и получением с вероятностью fig) наилучшего исхода gn и с вероятностью [1 — fig)] наихудшего исхода . Таким образом, использование функции полезности связано с переходом от детерминированного выбора (получения исхода g наверняка) к выбору с риском, при котором можно получить не только более предпочтительный исход gn>g с вероятностью fg), но и менее предпочтительный исход g{<g с вероятностью [1 — fig)].
Переход к выбору с риском задается тройкой <gn,fg), g{>, которая иногда называется базовой лотереей и обозначается
Рис. 4.7. Базовая лотерея, отображающая функцию полезности
Вообще понятие лотереи очень удобно для описания задачи выбора в условиях риска для случая конкретного множества исходов G. Так, для п исходов, т. е. при G = {g{, g2,gn} задача
163
Agi)<fg2)<-<Agn)
Я (рис. 4.7).
выбора сводится к выбору набора вероятностей P1(U), р2(и), рп(и), соответствующих альтернативе (стратегии) uEU (рис. 4.8) и может быть представлена в виде лотереи Ам.
Рис. 4.8. Лотерея со многими исходами
Кроме простых возможны и сложные лотереи, такие, в которых в качестве исходов выступают другие лотереи (рис 4.9).
Рис. 4.9. Сложная лотерея с любыми исходами
Это как раз характерно для случая связанных угроз, при которых реализация одной угрозы увеличивает вероятность реализации другой и вызывает появление новых угроз.
Напомним, что выбор варианта (стратегии) влияет только на вероятности исходов лотереи, но множество исходов G остается неизменным.
Естественно возникает вопрос, какие условия должны быть выполнены, чтобы можно было построить функцию полезности и использовать ее для выбора варианта (стратегии)? То есть для любого из возможных исходов gEG ЛПР должен ответить на вопрос, при какой вероятности j{g) получения наиболее предпочтительного исхода gn в базовой лотерее участие в этой лотерее для него одинаково по предпочтительности с получением исхода g наверняка? Для этого:
ЛПР должен сопоставить каждый из исходов gEG с соответствующей базовой лотереей, одинаковой с ним по предпочтительности;
должно выполняться правило замены: если в любой лотерее один из исходов заменить другим, равным ему по предпочтительности, то новая и исходная лотерея будут одинаковы по предпочтительности;
должно выполняться правило свертывания, которое заключается в том, что сложная лотерея L1 и простая лотерея L2 (рис. 4.10) одинаковы по предпочтительности, если
P - P1ZT1 + РД + PnIln.
Я,
Я,
Рис. 4.10. Правило свертывания сложной лотереи
165
Функция полезности задает некоторые шкальные значения, которые упорядочены также, как и сами исходы по предпочтительности. Чтобы задать функцию полезности, необходимо выбрать масштаб. Поскольку функция полезности J[g) играет роль вероятности в базовой лотерее, ясно, что она 0 <; flg) <; 1.
Так, для наилучшего исхода gn функция полезности должна быть максимальной, причем./?,) = 1, а для наихудшего исхода gi примем/(gi) = 0.
