Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
42 Зак 1841. Л. Г. Лойцянскнй. 658 турбулентно Г движение [і л. ix
Задача представляется вначале неопределенной, поскольку наперед неизвестны законы изменения ширины струи b (л:) и максимальной скорости на оси струи ит (х). Эта неопределенность исчезает, если выражение продольной скорости искать в форме семейства подобных между собою кривых
(106)
где под Ь(х) понимается некоторая условная (в том же смысле, как
„толщина" пограничного слоя) ширина струи, а ¦»] = ——новый
аргумент. Пользуясь выражением (106), вычисляем (штрих означает дифференцирование по T1):
U = UJi-«О, = Ц = ^/"С<ї),
ди dum ,, , 1 db & / \
Ii = -STfW-Ii dtu»f Ыъ
У 4 1
„ = _ J ? dy = - 6 Ofc Jf (,) щ + Um ? I f ft) V3 .
О 0 0
Подставим эти выражения в первое уравнение (105'), тогда после простых приведений получим:
„ йит т dx
^(4)-/(4)//(4)^] +
о
і
= (107)
о
Введем в рассмотрение функцию F (rt), положив
F(yi)=fm<*n- (108)
о
Функция F(ii) связана простым соотношением с функцией тока ф (х, у). Действительно, по определению функции тока, если принять 4>(х, 0)==0,
У Т)
ф = J U dy = umb //(Y1) rfrj = uJ>F (T1). (108') § 102] „свободная турбулентностьплоская струя 65&
Будем иметь:
/(ч)==^(-4), /M = ^ft), /Чч) = -Р"(Ч), і 2
J -Zi/' (IJ) *Ч = T1/- J / rfij = TjF (її) — F (її),
о о
»
так что уравнение (107) может быть переписано в виде
Um d^ (F'2 - FF") - 4 ? FF" = k /=*". (109)
Замечая, что, в силу одинаковости давления во всей области течения, проекция на ось Ox вектора количества движения, протекающего сквозь любое сечение струи, должна быть одна и та же, получим
-i-oo
р U2 dy — const = J0, (110)
J.
где J0 представляет заданное количество движения струи при выходе ее из щели, или интенсивность струи. Подставляя сюда значение и из формулы (106), найдем:
-|-оо
рumb J f (Ti) Ctfl = J0
-OO
ИЛИ
Umb = COnSt. (110')
Дифференцируя обе части этого равенства по х, получим:
в силу чего уравнение (109) перепишется окончательно в виде:
Ц (F'2 + FF") = — 2kF'". (111)
Из условия независимости аргументов х и следует, что
= b = сх, (112)
где с — некоторая не зависящая от граничных условий константа, характеризующая турбулентнйй характер струи. Как показывает последнее равенство, „ширина" струи возрастает пропорционально расстоянию от источника, а границами струи служат прямолинейные лучи, выходящие из источника (на рис. 205 они показаны пунктиром).
Из равенства (110') можно найти закон убывания максимальной скорости на оси при удалении от источника струи:
COnst {л л оч
Um==~fx' ^
42* 660 ТУРБУЛЕНТНО Г ДВИЖЕНИЕ [і Л. IX
Найдя закон (112) изменения ширины струи b и (113) — осевой скорости ит, можем определить и закон изменения коэффициента турбулентного трения А. Имеем по (104) и только что указанным равенствам:
А — kpumb = kcoxum — const Vх• (104')
Коэффициент турбулентного обмена, не изменяясь по сечению струи, возрастает пропорционально корню квадратному из расстояния сечения до источника струи.
Основное дифференциальное уравнение (111) приводится к виду:
F'2 ^r F F" = --F'" (114)
и легко может быть непосредственно два раза проинтегрировано. Действительно, имеем:
F"t==-ik^2)"'
и, следовательно,
F -=-?¦^ + С-ЧЛ- Cv (115)
Постоянные интегрирования С и Ci найдем из очевидных граничных условий:
при Tj==O F = 0, j
при Tj = O F" = 0, I (116)
при T1 = O F' — \, J
выражающих: что ось струи принята за нулевую линию тока, что
в силу симметрии производная ~ обращается на оси в нуль и что
вдоль оси и — ит. Уравнение (115) при этом переходит в легко интегрируемое уравнение
F' = і-_-?-/*>, 4k '
которое, при принятых граничных условиях (116), имеет решение:
¦+' Vh
УІ
с
е'
Отсюда получаем
2V
с »/"7 1 § 102] „СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ"; ПЛОСКАЯ CTPtfri 6б1
или, переходя к гиперболическим функциям,
F =2/1 th(4-/|4). (117)
Отсюда находим продольную составляющую скорости и:
LyrI
« - UjFt (Ti) = ит • 2 j/~I • Д Л ч
ch42 V TV
ит (118)
и поперечную составляющую г>:
= 7'в« 77 (1J) +к»-Ш [rf W -fW^
= Um-^iriFt-lJF) = CUm (У'-If) =
-«i. [ijch-2 (і ч)-]a~th(і /^ч)]. (119)
Чтобы сравнить теоретические формулы с опытными материалами, обозначим через Y такое значение у, при котором u = j ит, тогда из равенства _
і Um=UmCh-^J
будет следовать:
chf-^=-W 1/2 = 1,41,
0,88, Y= 1,76 ^kc х.
2 дс
При этом равенство (118) может быть переписано в виде:
и = ит ch-2(0,88-f ). (120)
На рис. 206 соответствующая кривая показана пунктиром. Совпадение этой теоретической кривой с опытными точками1 вполне удовлетворительное. При таком сравнении неизвестные константы с и ft входят в определение величины Y.
1 FOrthraann, Ingenieur-Archivf 5 (1934), S. 42—54. 854
турбулентное движени1-
(гл. ІХ
Пользуясь формулой (118), можно вычислить массовый расход жидкости через любое сечение струи, расположенное на расстоянии х от источника струи.
