Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Как показывают простые вычисления,2 в случае такой, однородной и изотропной, турбулентности компоненты тензора Фу могут быть выражены через две функции, представляющие моменты связи между составляющими скоростей пульсаций в точках M' и М": 1) направленными вдоль отрезка AVM'' (продольные составляющие) н 2) нормально к этому отрезку (поперечные составляющие). Точно так же и компоненты могут быть выражены
через три величины моментов связей третьего порядка между продольными н поперечными составляющими пульсациоиных скоростей в точках M' и М".
Используя осреднение уравнения неразрывности и общих динамических уравнений вязкой жидкости, удается получить одно дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:3
dF 0/дН , 4 „\ „ /ОТ, 4 дР\
с двумя неизвестными функциями F (г, t) и H (г, t), из которых первая F(r,i) представляет момент связи второго порядка между продольными компонентами пульсационных скоростей в точках M' и М", а вторая H {г, t)—момент связи третьего порядка между квадратом поперечной составляющей в точке M' и продольной — в точке Ni".
Уравнение (135) можно рассматривать как уравнение рассеяния величины F, характеризующей структуру турбулентных возмущений в потоке.
J См. их доклад на 1-м Конгрессе по прикладной механике в Дельфте в 1924 г. (Труды Конгресса, стр. 395—403).
2 Л. Г. Лойцянский, Некоторые основные закономерности изотропного турбулентного потока. Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939.
3 Это уравнение было выведено впервые Карманом; см. Joura. of the Aeron. Sc., 1937. № 4, 670 турбулентно Г движение [і л. ix
Рассмотрим эту функцию несколько ближе. Если устремить г к нулю, то функция F, согласно ее определению и свойству изотропности потока, превратится в среднее значение квадрата пульсации в данной точке:
F(0, t) = v*. (136)
Эту величину (или квадратный корень из нее) принимают за меру интенсивности турбулентности в данной точке, В рассматриваемом случае однородной турбулентности величина w'a одинакова во всех точках потока в данный момент времени и зависит лишь от времени. Примем в дальнейшем
для краткости обозначение t»'a = о"2 = о3 и рассмотрим величину
(137)
Y Vf а • Yv"2 V2
носящую наименование коэффициента корреляции (связи) двух пульсирующих во времени функций v' н v". Коэффициент корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы, причем крайние его значения соответствуют: нуль—отсутствию какой бы то ни было связи между пульсациями скорости в точках M и М", единица — полной связи между этими пульсациями.
Очевидно, что при г — 0 будет /(0, i) = 1; при увеличении расстояния г между точками Mr и М" степень статистической связанности между пульсациями скорости быстро ослабевает и функция / (г, t), так же как F (г, t) и H (г, t), резко спадает до нулевого значения. Используя коэффициент корреляции / как статистическую меру связанности возмущений в двух точках потока, можно ввести понятие о масштабе турбулентности. Для этого построим интеграл
со со
/-=I' f(r, t)dr=-~ J F (г, t) Ar, (138)
6 о
представляющий взвешенное суммирование бесконечно малых отрезков йг, причем за „вес" принимается как раз степень связанности f (г, t) пульсаций в точках M и М". Величину L можно принять за статистический масштаб турбулентности; в дальнейшем будет указан также еще и другой возможный масштаб турбулентности.
Возвращаясь к уравнению (135), можем следующим образом проннтер-
dF
претировать отдельные его члены. Локальная производная — от величины F
по времени складывается из вязкостного (диффузионного) ее рассеяния, представленного правой частью уравнения, и конвективного изменения, ощэе-деляемого выражением в левой части, зависящим от функции H (г, t). При малых значениях рейнольдсова числа турбулентности (I—некоторый характерный размер) _
R=I^,
V
конвективный член становится пренебрежимьш, а задача — определенной, так как уравнение (135) переходит в уравнение относительно одной функции Fi
При больших значениях того же рейнольдсова числа оба члена сохраняют свое значение, и для решения задачи необходимо выдвигать дополнительные допущения. § 104] РАССЁЯНЙЕ ЇУРБУЛЕНТНЬІХ ВОЗМУЩЕНИЙ в жидкости 671
Прежде чем перейти к вопросу об интегрировании уравнения (139), установим общее соотношение, выражающее закон сохранения одной, характерной для турбулентных возмущений величины. Закон оказывается общим для затухающей однородной и изотропной турбулентности, безотносительно к тому, опускаются или нет конвективные члены.
Для вывода этого закона сохранения умножим обе части уравнения (135) на г* и проинтегрируем в лределах от нуля до бесконечности. Тогда, предполагая, что функции FuH удовлетворяют условиям убывания на бесконечности:
SF
при г-* оо r4^r-*"0 и riH
и что соответствующие интегралы существуют, после простого интегрирования по частям получим:
оо
~ j F(r, t)r*dr^ 0, (140)
о
откуда сразу следует искомый закон сохранения:
OO со
A=JF(г, t)r*dr = const= f F(г, О)r*dr. (141)
о о
Величину А можно было бы назвать „моментом возмущений" и говорить о законе сохранения момента возмущений. Переходя от функции F(г, t) К коэффициенту корреляции / (г, t), перепишем предыдущее равенство в виде
